Es posible calcular la integral de la $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{1+x^2} \mathrm{d}x$ utilizar la educación a distancia?

Question

Mi pregunta es:

Es posible calcular la integral de la $$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{1+x^2} \mathrm{d}x$$ utilizar la educación a distancia?

Mi juicio: Vamos $$ I(a,b) = \int_{0}^{\infty} e^{-bx}\frac{\cos ax}{1+x^2} \mathrm{d}x $$ entonces Dominantes teorema de Convergencia, $I(a,b)$ es continua en a $[0,2] \times [0,1]$. Tan sólo necesitamos calcular $I(1,0)$. Arreglar cualquier $b\in (0,1]$, podemos obtener la siguiente ODA: $$ I(a,b)-I^{"}_{aa}(a,b) = \int_{0}^{\infty} e^{-bx}\cos ax \mathrm{d}x=\frac{b}{a^2 + b^2} $$ Tengo dificultad para continuar. Parece difícil de resolver este segundo orden de la educación a distancia. O cualquier otro método de utilizar la educación a distancia para calcular esto?

Gracias!

Answer 1

Sugerencia. Mediante el establecimiento de $$ f(s):=\int_{-\infty}^\infty \frac{s\cos x}{s^2+x^2}\:dx, \qquad s>0, $$ uno puede demostrar que $$ f"(s)=\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2}{\partial s^2}\left(\frac{s\cos x}{s^2+x^2}\right)dx=\int_{-\infty}^\infty \frac{s\cos x}{s^2+x^2}\:dx=f(s) $$ donde hemos utilizado la integración por partes dos veces. Por lo tanto, mediante el uso de una solución estándar de los lineales de la educación a distancia, $$ y"(s)=y(s) $$ one gets$$ y(s)=c_1e^s+c_2e^{-s} $$ entonces uno termina con

$$ \int_{0}^\infty \frac{s\cos x}{s^2+x^2}\:dx=\frac \pi2 e^{-s},\qquad s>0. $$

El tratado de la integral se obtiene por poner $s=1.$