Electromagnetismo en el espaciotiempo curvo

Question

Estoy intentando seguir una derivación esbozada en Asenjo et al. 2017 .

En la ecuación 1, definen la derivada covariante del tensor de campo,

$$ \nabla_{\alpha} F^{\alpha \beta} = 0 $$

De aquí llegan a,

$$ \partial_{\alpha} [\sqrt{-g} g^{\alpha \mu} g^{\beta \nu} (\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu})] = 0$$

Ahora bien, puesto que $F^{\alpha \beta} =g^{\alpha \mu} g^{\beta \nu} F_{\mu \nu} $ y $F_{\mu \nu} = \nabla_{\mu} A_{\nu} - \nabla_{\nu} A_{\mu}$ Puedo ver los métodos generales y las sustituciones realizadas para llegar a esta respuesta, pero estoy confundido en 2 puntos:

¿Por qué pasar de las derivadas covariantes a las parciales?

¿Dónde está el $\sqrt{-g}$ ¿de dónde viene el término? ¿Qué es el $g$ ?

Answer 1

Aquí hay algunos aspectos:

• En primer lugar, tiene razón en que $g^{\alpha\mu}g^{\beta\nu}$ basta con elevar los índices en $F_{\mu\nu}$ .
• El tensor de intensidad de campo se define realmente como una forma diferencial de segundo orden, es decir $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ con derivadas parciales. Eso no importa para calcular los componentes, ya que los términos extra con símbolos de Christoffel se cancelan, pero el formalismo es mucho más claro.
• Por último, sobre el $\sqrt{-g}$ : Este es un truco estándar para reescribir divergencias (covariantes). Observa que la derivada covariante (tu primera ecuación) puede expandirse como $$D_\alpha F^{\alpha\beta}=\partial_\alpha F^{\alpha\beta} + \Gamma_{\alpha\gamma}^{\alpha} F^{\gamma\beta}+ \Gamma_{\alpha\gamma}^{\beta} F^{\gamma\alpha}\,.$$ El último término se abandona porque $\Gamma$ es simétrico en los índices inferiores y $F$ es antisimétrica. Los primeros símbolos de Christoffel son $$\Gamma_{\alpha\gamma}^\alpha=\frac{1}{2}g^{\alpha\delta}\left(\partial_\gamma g_{\alpha\delta}+\partial_\alpha g_{\gamma\delta}-\partial_\delta g_{\alpha\gamma}\right)\,,$$ donde el segundo y tercer término cance (¿puedes ver por qué?), así que $$\Gamma_{\alpha\gamma}^\alpha=\frac{1}{2}g^{\alpha\delta}\partial_\gamma g_{\alpha\delta}\,.$$ Es de la forma $\text{tr}\left(M^{-1}\partial M\right)$ para la matriz $g$ . Utilizando la identidad $$\ln \det M=\text{tr}\ln M$$ (véase, por ejemplo https://math.stackexchange.com/questions/1487773/the-identity-deta-exptrlna-for-a-general ), podemos reescribirlo como $$\frac{1}{2}g^{\alpha\delta}\partial_\gamma g_{\alpha\delta} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\gamma \sqrt{-g}\,,$$ y su segunda fórmula se deduce de la regla de Leibniz. (Puede que me haya equivocado o no con el signo menos en alguna parte).