Son todos los elementos de orden $2$ $\mathrm{Gal}(\overline{\Bbb Q} / \Bbb Q)$ conjugada?

Question

Deje $G$ absoluto grupo de Galois de $\Bbb Q$. Es cierto que cualquiera de los dos elementos de orden $2$ $G$ son conjugado (en $G$) ?

He visto esta pregunta, pero la respuesta sólo muestra que cualquier elemento finito de orden en $G$ orden $≤2$. Al parecer, Artin respondió positivamente a mi pregunta, pero he encontrado ninguna referencia para este resultado. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Sí, esto es cierto. Si $\sigma\in G$ orden $2$, vamos a $R$ ser el campo fijo de $\sigma$. A continuación, $R$ es un campo cerrado que contiene a$\mathbb{Q}$, y está contenida en $\overline{\mathbb{Q}}$, por lo que es un verdadero cierre de la orden de campo $\mathbb{Q}$ para el orden en $\mathbb{Q}$ obtenemos mediante la restricción de la orden de $R$. Pero sólo hay una manera de hacer $\mathbb{Q}$ ordenada campo, por lo que este orden es habitual que se haga el pedido en $\mathbb{Q}$.

Por eso, $R$ es un verdadero cierre de $\mathbb{Q}$ con su costumbre de ordenar. Pero el verdadero cierre de una orden de campo es único hasta un único isomorfismo. Así que si $\sigma'\in G$ es cualquier otro elemento de orden $2$ $R'$ es su campo fijo, a continuación,$R\cong R'$. Este isomorfismo se extiende a un automorphism $\tau$$\overline{\mathbb{Q}}$, e $\sigma$ $\sigma'$ son entonces conjugado a través de $\tau$.