Quinta potencia de a $2 \times 2$ matriz igual a la identidad multiplicativa

Question

¿Existe algo real? $(2 \times 2)$ -matriz $A$ , distinta de la identidad multiplicativa $I_{2}$ , de tal manera que $A^{5} = I_{2}$ ? Si existe tal matriz, sé que su determinante debe ser 1.

Answer 1

$$A=\begin{pmatrix}\cos(2\pi/5) & -\sin(2\pi/5) \\ \sin(2\pi/5) & \cos(2\pi/5)\end{pmatrix},$$ que representa $\cos(2\pi/5) + i\sin(2\pi/5)$ cuya quinta potencia es $1$ debido a que $(\Bbb C,+,\times)\cong (\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix},+,\times)$ . Por lo tanto, $A^5=I$ .

Answer 2

$A_{11}=A_{22}=(\sqrt{5}-1)/4$

$A_{21}=-A_{12}=\sqrt{(5+\sqrt{5})/8}$