Sobre la convergencia de las series de Bertrand $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}(n)}$ donde $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Question

Estudiar la convergencia de $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}(n)}$$ donde $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Lo he demostrado:

1. Esta serie diverge cuando $\alpha \leq 0$ .

2. Esta serie converge cuando $\alpha > 1, \beta > 0$

3. Esta serie diverge cuando $0 < \alpha < 1, \beta > 0$

4. Esta serie converge cuando $\alpha = 1, \beta > 1$

Pregunta: ¿Qué sucede cuando $\alpha > 0$ y $\beta < 0$ ?

Hay otras preguntas en MSE que preguntan sobre esta serie, pero esta pregunta es distinta porque

• Me gustaría un argumento que no se base en la prueba integral de convergencia de la serie, y

• esta pregunta considera todos los $\alpha$ y $\beta$ mientras que otras preguntas sólo se refieren a $\alpha, \beta > 0$ donde podemos aplicar el criterio de condensación de Cauchy

Answer 1

En este último caso diverge que son Serie de Bertrand ver aquí : de hecho tenemos

$$\frac{1}{n^{\alpha/2}\ln^\beta n} =\left[\frac{1}{\frac{2\beta}{\alpha}n^{\alpha/2\beta}\ln n^{\alpha/2\beta}}\right]^{\beta}\to \left[\frac{1}{\frac{2\beta}{\alpha}0^-}\right]^{\beta} =\infty$$ Ya que si $\alpha<0$ y $\beta>0$ entonces, $$\lim_{n\to\infty}n^{\alpha/2\beta}=0\implies \lim_{n\to\infty}n^{\alpha/2\beta}\ln n^{\alpha/2\beta} =0^-$$

Entonces existe $N$ tal que $n>N$ tenemos

$$\frac{1}{n^{\alpha/2}\ln^\beta n}>1\implies \frac{1}{n^{\alpha}\ln^\beta n}>n^{-\alpha/2}$$ Es decir $$\sum_{n=N}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}\ln^\beta n}>\sum_{n=N}^{\infty}n^{-\alpha/2} =\infty$$ de esto se obtiene la divergencia