La probabilidad de $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\alpha)}=\mathbb{Z}[\alpha]$

Question

Deje $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ ser un polinomio irreducible de grado $n$ y deje $\alpha$ ser una raíz de $f(x)$. Uno puede mostrar que $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\alpha)}=\mathbb{Z}[\alpha]$ si el discriminante de $f(x)$ es cuadrado-libre, y conversar no posee en general. Quiero saber la probabilidad de este evento, es decir, $$ p_{n}=\lim_{N\to\infty} \frac{\#\{f(x):\mathcal{S}_{\mathbb{Q}(\alpha)}=\mathbb{Z}[\alpha],\alpha\text{ es un cero de $f(x)$}\}}{\#\{f(x)\in \mathbb{Z}[x]:f(x)\text{ es monic polinomio irreducible de grado $n$}, h(f)\leq N\}} $$ donde$h(f)=\max\{|a_{0}|, \dots, |a_{n-1}|\}$$f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$. No sé si el límite existe o no, pero como he explicado anteriormente, el límite inferior del límite de $$ q_{n}=\lim_{N\to\infty} \frac{\#\{f(x):disc(f)\text{ es cuadrado-libre}\}}{\#\{f(x)\in \mathbb{Z}[x]:f(x)\text{ es monic polinomio irreducible de grado $n$}, h(f)\leq N\}}. $$ Por ejemplo, en el caso de $n=2$, tenemos $$ q_{2} = \lim_{N\to\infty}\frac{\{a, b\in \mathbb{Z}:|a|, |b|\leq N,^{2}-4b\text{ es cuadrado-libre}\}}{\{a, b\in \mathbb{Z}:|a|, |b|\leq N,^{2}-4b\text{ no es cuadrado}\}} $$

---

Edit : With computer, I computed $q_{2}$ and

N=10 -> 0.6
N=100 -> 0.454497
N=500 -> 0.425595
N=1000 -> 0.419174
N=5000 -> 0.41124

and my computer doesn't work for $N=10000$..

Answer 1

Usted está en suerte. Este mismo problema se ha considerado en este documento: https://arxiv.org/abs/1611.09806 . Ellos nos demuestran que $ p_n = 1/\zeta(2)$, en particular es independiente de $n$!

Leer la introducción a la del papel, es muy claro.

(Tenga en cuenta que trabajan con una altura diferente de la función.)