¿Por qué la función de onda electrónica del helio es un producto de las dos funciones de onda 1s cuando se ignora la repulsión electrón-electrón?

Question

Esta pregunta también se ha formulado en el intercambio de pilas de física:
¿Por qué la función de onda del átomo de helio es un producto de las dos funciones de onda 1s?

De [1, p. 116]:

En la búsqueda de una aproximación al estado básico, podríamos primero elaborar la solución en ausencia de la $1/r_{12}$ término. En la ecuación de Schrodinger así simplificada, podemos separar las variables $r_{1}$ y $r_{2}$ para reducir la ecuación a dos problemas independientes similares al hidrógeno. La función de onda del estado básico (no normalizada) para este hipotético átomo de helio sería:

$$\psi(r_1, r_2) = \psi_{1s}(r_1)\psi_{1s}(r_2) = e^{Z(r_1 + r_2)}$$

¿Por qué es sólo el producto y no una combinación lineal de las dos funciones de onda? He oído en alguna parte que tiene algo que ver con el "producto tensorial". ¿Puede alguien dar una explicación detallada sobre esto?

Referencia:

1. Blinder, S. M. Introduction to Quantum Mechanics: in Chemistry, Materials Science, and Biology; Elsevier, 2012, . ISBN 978-0-08-048928-5.

Answer 1

Aquí se aplica la misma mecánica que para la separación de las partes angulares y radiales de la función de onda electrónica del hidrógeno: Tienes una ecuación de Schrödinger que es separable en dos (es decir, una para cada electrón). Se resuelven y para combinarlas hay que multiplicarlas.

Sucede en este caso que la solución para cada ecuación es conocida y reconocible: la función de onda electrónica de $\ce{He+}$ . El hecho de que las dos funciones de onda se multipliquen no está relacionado en absoluto con la teoría de la estructura electrónica per se (no hay participación de LCAO, etc.), sino que es simplemente un resultado de la separabilidad de la ecuación de Schrödinger.

Answer 2

Como TAR86 respondió , se trata de la separación de variables. Esto sólo es posible gracias a la desatención $1/r_{12}$ plazo, que de otro modo haría imposible la separación. Por lo tanto, esta multiplicación es en realidad una mera aproximación.

Para completar, al igual que con los orbitales de hidrógeno (o cualquier solución de una EDP lineal obtenida mediante separación de variables) la completo solución a esta aproximación $He$ es una superposición de todo orbitales multiplicativos, es decir

$$\Psi(r_1,r_2) = \sum_{n,l,n',l'}c_{nln'l'}\psi_{nl}(r_1)\psi_{n'l'}(r_2)$$

con una normalización adecuada.