¿Podemos recuperar un espacio a partir de sus funciones continuas?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y sea $\mathcal{F}(X,\Bbb R)$ sea el conjunto de funciones continuas de $X$ a $\Bbb R$ .

¿Podemos recuperar la topología de $X$ sólo con el conocimiento de $\mathcal{F}(X,\Bbb R)$ ?

Es decir, ¿podemos determinar si un subconjunto $U$ de $X$ se abre sólo mediante el uso de $\mathcal{F}(X,\Bbb R)$ ?

Si no es así, ¿hay algún ejemplo de dos topologías distintas $\mathcal{T_1}$ y $\mathcal{T}_2$ en un conjunto $X$ tal que $$\mathcal{F}_{\mathcal{T}_1}(X,\Bbb R)=\mathcal{F}_{\mathcal{T}_2}(X,\Bbb R)\,?$$

Lo sé por este cuestión de que efectivamente podemos recuperar la topología de $X$ si consideramos en su lugar funciones continuas de $X$ a $\{0,1\}$ con topología $\big\{\emptyset,\{1\},\{0,1\}\big\}$ . Pero ¿qué pasa con el caso $X=\Bbb R$ ?

Answer 1

Hay un contraejemplo con $X=\{1,2\}$ Como no hay muchas topologías en ese espacio, no deberías tener problemas para encontrar dos que den las mismas funciones continuas de valor real.

Si sabes que $X$ es un espacio Hausdorff compacto, entonces puede recuperar la topología de $\mathcal F(X,\Bbb R)$ . Porque el espacio de las funciones continuas es un álgebra de Banach, y resulta que el espacio ideal máximo es $X$ .

Answer 2

Sur esta respuesta He dado la construcción en el documento de Eric van Douwen Un espacio regular en el que toda función continua de valor real es constante Nieuw Arch. Wisk. $30$ ( $1972$ ), $143$ - $145$ que en realidad da una "máquina" para empezar con un $T_3$ espacio que tiene dos puntos que no pueden ser separados por una función continua de valor real y que produce a partir de ella una $T_3$ espacio en el que todas las funciones continuas de valor real son constantes. En esta respuesta He dado una construcción de un $T_3$ espacio con dos puntos que no pueden ser separados por una función continua de valor real; el ejemplo se debe a John Thomas, Un espacio regular, no del todo regular The American Mathematical Monthly, Vol. $76$ No. $2$ (Feb, $1969$ ), pp. $181$ - $182$ . Se conocen otros muchos.

Toma cualquier espacio $\langle X,\tau\rangle$ producido por la máquina de van Douwen, y dejar $\tau'$ sea la topología indiscreta en $X$ Entonces $\langle X,\tau\rangle$ y $\langle X,\tau'\rangle$ tienen las mismas funciones continuas de valor real, es decir, las constantes. Para ello, podemos tomar $\tau'$ para ser la topología cofinita en $X$ , haciendo así que el espacio $T_1$ .

Answer 3

Considere $X = \{ 0 , 1\}$ con $\tau_1 = \{ \emptyset , \{1 \}, \{0,1\}\}$ y $\tau_2 = \{ \emptyset , \{0,1\} \}$ .
Con la primera topología tenemos que una función $f: X \to \mathbb{R}$ es abierto si la preimagen de un conjunto abierto es abierta.
Ahora supongamos que tenemos $f(1) \neq f(0)$ entonces podemos considerar $A = B ( f(2), \frac{1}{2} |f(1)-f(2)|) \subset \mathbb{R}$ que está claramente abierto, sin embargo $f^{-1}(A) = \{2 \}$ no está abierto, por lo que $f$ no es continua.
Si $f(1)=f(0)$ tenemos $f{-1}(U) =X$ para todos los abiertos $U \subset X$ .

Para la segunda topología, podemos considerar el mismo conjunto $A$ si $f(1) \neq f(0)$ para concluir que $f$ tiene que ser constante para ser continua.

Así que para ambas topologías tenemos $\{ f : X \to \mathbb{R} \mid f \textrm{ is constant.}\}$ es el conjunto de funciones continuas.