Tratando de entender un movimiento Cohen en la prueba de la independencia de la hipótesis continua

Question

He leído un par de presentaciones diferentes de Cohen en la prueba. Todos ellos (que he visto), finalmente, hacer un movimiento donde un producto Cartesiano (CP) entre el (M-forma de) $\aleph_2$ $\aleph_0$ en {1, 0} es imaginado. De lo que deduzco, si $CP \in M$ es lo que determina si $\neg$CH tiene en el M o no si $CP \in M$ $\neg$CH.

De todos modos, mi pregunta es: ¿por Qué este producto, CP, desempeñar este papel? ¿Cómo se nos muestran que $\aleph_2 \in M$ ("relativizada" forma de $\aleph_2$, no el $\aleph_2 \in V$)? No podía otras teórico-objeto juegan el mismo papel?

Answer 1

No estoy exactamente seguro de lo que usted está pidiendo, pero voy a probar de todos modos.

La idea básica de Cohen en la prueba (o al menos en las interpretaciones modernas de la misma) se adhieren a la planta modelo de una familia de $\aleph_2^M$ nuevos reales. Desde un real no es nada más que una función $\omega \to 2$, una familia de $\aleph_2^M$-muchos de reales puede ser pensado como una función de $\omega_2^V \times \omega \to 2$. (Recordar que no es natural bijection entre el$C^{A \times B}$$( C^B )^A$, y así una función de $f : \omega_2^M \times \omega \to 2$ puede ser pensado como una indexación de $\omega_2^M$-muchos de reales $\{ f_\alpha : \alpha < \omega_2^M \}$ donde $f_\alpha ( n ) = f ( \alpha , n )$.

Si podemos generar una función de este tipo, nos quedamos con dos pasos muy importantes:

1. Mostrar que si $\alpha \neq \beta$,$f_\alpha \neq f_\beta$, que es un estándar genericity argumento. Una vez hecho esto, sabemos que hay al menos $\aleph_2^M$-muchos de reales en la extensión de $M[G]$.
2. Mostrar que $\aleph_2^M$ es todavía la segunda innumerables cardenal en la extensión genérica. Si es así, entonces sabemos que $M[G] \models \text{"}| \mathbb{R} | \geq \aleph_2 \text{"}$, y por lo tanto CH es falso en $M[G]$. Este paso suele ser manejado por propiedades combinatorias de los Cohen forzamiento (es decir, que tiene el contable de la cadena de condición).

(Por supuesto, la $\aleph_2$ es utilizado no es estrictamente importante, y la metodología de la prueba pasa a través de "casi todos" los innumerables ordinales.)

Answer 2

Con el fin de demostrar la hipótesis continua es independiente de los axiomas de $ZFC$ lo que Cohen hizo fue empezar con $ZFC+V=L$ (en los que la generalización de la hipótesis continua tiene), y crear un nuevo modelo en el que $ZFC$ en el que el continuum de la hipótesis de falla.

En primer lugar, debemos entender cómo agregar un número real para el universo, entonces podemos agregar $\aleph_2$ de ellos a la vez. Si la suerte nos acompaña, a continuación, $\aleph_1$ de nuestro modelo original no llegó a ser contables después de esta adición, y entonces tenemos que hay $\aleph_2$ nuevos números reales, y por lo tanto CH falla.

Para agregar un número real Cohen inventado forzar. En este proceso de "aproximado" un nuevo conjunto de números naturales por finito de partes. Algún misterioso crear conocido como un "filtro genérico", a continuación, crea un nuevo subconjunto, así que si nos tocan el filtro genérico para el modelo de podemos mostrar que hay un nuevo subconjunto de los números naturales, que es lo mismo que decir que agregar un número real.

Ahora podemos utilizar la orden parcial que añade $\aleph_2$ números reales a la vez. Este orden parcial tiene algunas buenas propiedades que asegurarse de que los ordinales que eran inicial ordinales (es decir, los cardenales) se conservan, y por eso tenemos que CH es falso en esta extensión.

(Realmente estoy tratando de evitar una respuesta técnica aquí, y si usted desea conseguir los detalles que se tienen que sentarse a través de algún libro y aprender acerca de cómo forzar. He escrito más acerca de los detalles en Una pregunta con respecto a la Hipótesis continua (Revisado))