¿Cuáles son monomorphisms en la categoría de verdadero vector de paquetes a través de una base fija de espacio $X$?

Question

Tengo una (tal vez estúpido) cuestión de vector de paquetes.

En la mayoría de los libros de texto, una de morfismos de real del vector de paquetes de $f:\xi\to \eta$ sobre una base fija de espacio $X$ es $\textsf{monomorphism}$ si el espacio total del mapa de $f:E\to E^{\prime}$ (fiberwise) inyectiva. (Epimorphisms son de forma análoga se define fiberwisely.)

Lo que quiero comprobar es que esta definición coincide con la definición de $\textsf{monomorphism}$s en la categoría de vector de paquetes de más de $X$ (let us denotamos como $\textbf{VB}_{X}$), es decir, una de morfismos que puede ser cancelado por la izquierda. Vector paquete de morfismos con inyectiva espacio total mapas son obviamente monomorphisms en esta categoría de la teoría de la sensación. Sin embargo, yo no puedo demostrar lo contrario, que $\textbf{VB}_{X}$-monomorphisms necesariamente inyectiva total del espacio de los mapas (no puedo encontrar una cosa como un "indicador de la gavilla" de poleas en este vector paquete de caso...). Yo ahora incluso la sospecha de que estos dos conceptos no son equivalentes, pero no puedo encontrar un buen contraejemplo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

$\text{Vect}(X)$ no abelian, pero es lo suficientemente cerca que una de morfismos de vector de paquetes es un monomorphism iff ha trivial kernel. El problema es que la fiberwise núcleo de un mapa de vector de paquetes puede no ser un vector paquete.

Muy explícitamente, vamos a $X = \mathbb{R}$, vamos a $V$ ser el trivial de la línea de paquete de más de $X$, y deje $f : V \to V$ ser el de morfismos, que está dada por fiberwise

$$f(v_x) = x v_x, x \in \mathbb{R}, v_x \in V_x.$$

Este mapa no se fiberwise inyectiva en el origen, y de hecho su fiberwise núcleo saltos en la dimensión de allí. Me dicen que es un monomorphism en el vector de paquetes. La razón es que si $W$ es otro vector paquete y $g : W \to V$ un mapa de vector de paquetes tal que $f \circ g = 0$, entonces a partir de la $f$ es fiberwise inyectiva en todas partes excepto en el origen, $g$ debe ser cero en todas partes excepto en el origen, y luego por la continuidad que debe ser cero en el origen.

Como indican los comentarios, para hacer que las cosas funcionen mejor de lo que usted puede intentar para incrustar vector de paquetes en una mayor y mejor categoría (abelian sería bueno). Debe haber al menos lo suficientemente grande que la fiberwise núcleo de el mapa de arriba (una descripción de que es como un rascacielos gavilla en el origen) existe en él. Si $X$ es compacto Hausdorff, entonces por la Serre-Swan teorema $\text{Vect}(X)$ es equivalente a la categoría de finitely generado módulos proyectivos sobre el ring $C(X)$ de funciones continuas $X \to \mathbb{R}$, y esto, naturalmente, se incrusta en la categoría de todos los finitely módulos, que a su vez incorpora en la categoría de todos los módulos, y que sin duda abelian. Desde aquí se puede elegir el vector de paquetes como el dualizable objetos, o como la de pequeños objetos. En general, por ejemplo, en la geometría algebraica, usted puede en lugar de trabajar con las distintas categorías de las poleas de $\mathcal{O}_X$-módulos.

Answer 2

Aquí es una expresión algebraica de la versión (y generalización) de Qiaochu del contraejemplo:

Deje $A$ ser un anillo conmutativo y $a : A \to A$ ser un homomorphism de $A$-módulos (libre de rango $1$), correspondiente a algún elemento $a \in A$.

Es un monomorphism en la categoría de f.g. proyectiva $A$-módulos de iff es un monomorphism en la categoría de todos los $A$-módulos de iff $a$ es regular, es decir, no cero divisor.

Es un monomorphism en cada fibra de iff para todos el primer ideales $\mathfrak{p}$ el elemento $\overline{a} \in \mathrm{Frac}(A/\mathfrak{p})$ es regular, es decir, no-cero. Esto significa que $a$ no figura en ningún primer ideal.

El conjunto de divisores de cero de a $A$ es un sindicato de primer ideales. Esto demuestra (lo que ya sabemos por otras razones) que fiberwise-mono implica mono. Pero dado que el conjunto de divisores de cero no tiene que ser la unión de todos los primer ideales, hay monos que no son fiberwise-mono:

En el ring $A=C(\mathbb{R})$, la función de $a$ definido por $a(t)=t$ no es divisor de cero (porque si $f(t) \cdot t = 0$ todos los $t$, esto implica $f(t)=0$ todos los $t \neq 0$ y, por tanto, $f=0$ desde $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ es denso en $\mathbb{R}$), pero $a$ está contenida en el primer ideal de las funciones que se desvanecen en $0$.