Demostrar las funciones que son únicas en un volumen, cálculo vectorial problema

Question

Estoy trabajando a través de el siguiente problema, pero resulta difícil saber a dónde ir.

El uso de la Divergencia y teorema de las siguientes identidades

$\nabla \cdot (A \times B) = B\cdot(\nabla \times A) - A\cdot(\nabla \times B)$

$\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla ^2 A$

En un volumen V encerrado por una superficie S, el vector de los campos X e y satisfacen las ecuaciones acopladas

$\nabla \times \nabla \times X = X+Y$

$\nabla \times \nabla \times Y = Y-X$

Si los valores de $\nabla \times X$ $\nabla \times Y$ se dan en S, demostrar que X e y son únicos en V.

Estoy asumiendo que necesito mostrar que $\nabla ^2 X$ $\nabla ^2 Y$ son igual a cero y que X y y son iguales a cero en S para satisfacer el teorema de unicidad para la ecuación de Poisson. Pero estoy seguro de una buena manera de llegar allí, así que antes de escribir mis garabatos que si alguien puede que me señale en la escritura de dirección sería genial.

Cualquier ayuda, apuntando en la dirección correcta sería muy útil.

EDIT: se Fija la segunda expresión original no tenía sentido.

Answer 1

Con esto no estoy siquiera seguro de lo que la pregunta es
pero aquí está la respuesta que le doy a probar a $X \neq Y$:

Suma las dos ecuaciones $$2Y = \nabla \times \nabla \times X + \nabla \times \nabla \times Y$$ Restar las dos ecuaciones $$2X = \nabla \times \nabla \times X - \nabla \times \nabla \times Y$$

El uso de $\nabla \times \nabla \times A = \nabla(\nabla \cdot A) - \nabla^2 A$ $$\begin{align} 2Y &= \nabla(\nabla \cdot X) − \nabla ^2 X + \nabla(\nabla \cdot Y) − \nabla ^2 Y\\ 2Y &= \nabla\big(\nabla \cdot(X+Y)\big) − \nabla ^2 (X+Y) \end{align}$$ y, a continuación, resub $\nabla \times \nabla \times X = X+Y$ $$2Y = \nabla\big(\nabla \cdot (\nabla \times \nabla \times X)\big)− \nabla ^2 (\nabla \times \nabla \times X)$$ del mismo modo $$-2X = \nabla\big(\nabla \cdot (\nabla \times \nabla \times Y)\big) − \nabla ^2 (\nabla \times \nabla \times Y)$$

Por lo tanto, si $X=Y$ $$\nabla \times X = -\nabla \times Y$$ que implys $Y=0$$X=0$.

Por lo tanto, $X = Y$ sólo en el caso trivial.