Es la cardinalidad de un conjunto abierto en un espacio métrico $X$ sin puntos aislados igual a $|X|$?

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico completo sin puntos aislados.

Es cierto que cualquier conjunto abierto en $X$ (en la métrica de la topología) tiene la misma cardinalidad como $X$?

Es cierto si $X = \mathbb{R}$, por ejemplo, por lo que el resultado general parece algo plausible.

Sé que la categoría de Baire teorema implica que $X$ es incontable y también que cualquier conjunto abierto en $X$ es de segunda categoría. Así que si $|X| = \mathfrak{c}$ (la cardinalidad del continuo), entonces, asumiendo que la hipótesis continua, la cardinalidad de cualquier conjunto abierto $O$$\mathfrak{c}$: si $O = \{x_1,x_2,... \}$ fueron contables, sería la primera categoría, ya que cada una de las $x_i$ es denso en ninguna parte en la métrica de la topología.

¿Qué podemos decir al $|X| > \mathfrak{c}$?

Answer 1

Esto no es cierto.

Considere la posibilidad de más-que-continuo-número de copias de $[0,1]$ con la métrica usual, "poner juntos discretamente" -, es decir, podemos definir la distancia entre dos puntos cualesquiera en diferentes copias a $2$. Este es completa, pero abrir los vecindarios pueden tener el tamaño de continuo.

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Tal vez una forma más natural, ejemplo de ello sería la "estrella" de la versión de la anterior construcción: corregir un conjunto de índices $I$ arbitrarias, cardinalidad, y vamos a $$M=(I\times (0, 1])\sqcup\{*\},$$ where we think of this as $yo$-many copies of $[0, 1]$ glued together by identifying all of their $0$s (as $*$). This has a natural metric structure: just "follow the arms". It's clear what the distance between $(i, a)$ and $(i, b)$ should be for $i\I$ and $a, b\in (0, 1]\copa \{*\}$; and if $a, b\in (0, 1]$ and $i,j$ are distinct elements of $I$, we'll set $d (i, a), (j, b))=a+b$.

Con respecto a este indicador, $M$ es completa - pero de nuevo, abrir los vecindarios puede evitar la $*$ y vivir enteramente en una sola "brazo" de tal modo que los pequeños de la cardinalidad.

En particular, observe que en este ejemplo está conectado, a diferencia de la anterior.

Answer 2

Como otros han señalado, esto no es cierto para $|X|>\mathfrak{c}$. Sin embargo, es cierto para $|X|\leq \mathfrak{c}$, incluso sin asumir la hipótesis continua. He aquí una prueba.

Deje $U$ ser un conjunto abierto no vacío en un espacio métrico $X$ sin puntos aislados. Deje $B$ ser abiertos y de bola cuyo cierre $\overline{B}$ está contenido en $U$. A continuación, $\overline{B}$ también es un espacio métrico completo sin puntos aislados, y que es suficiente para mostrar $|\overline{B}|\geq \mathfrak{c}$. Que es, bien podemos simplemente asumir $U=X$, y mostrar que cualquier vacío completo espacio métrico $X$ sin puntos aislados tiene cardinalidad, al menos,$\mathfrak{c}$.

Para probar esto, tomar dos puntos distintos $x_0$ $x_1$ $X$ y abrir bolas $U_0$ $U_1$ radio $\leq 1$ con distintos cierres de que los contienen. Desde $x_0$ no es aislado, $U_0$ contiene dos distintos puntos de $x_{00}$$x_{01}$, y podemos elegir abrir bolas $U_{00}$ $U_{01}$ radio $\leq 1/2$ con distintos cierres de que los contienen y que figuran en el $U_0$. Del mismo modo, podemos encontrar dos puntos distintos $x_{10}$ $x_{11}$ contenida en el abierto de bolas $U_{10}$ $U_{11}$ radio $\leq 1/2$ con distintos cierres que están contenidas en $U_1$.

De continuar este proceso, podemos encontrar puntos de $x_s$ y abrir bolas $U_s$ para cada secuencia finita $s$ $0$s y $1$s con las siguientes propiedades. Para cada $s$, $x_s\in U_s$ y el radio de $U_s$ es en la mayoría de las $1/n$ donde $n$ es la longitud de $s$. Si $t$ es un segmento inicial de $s$,$U_s\subseteq U_t$. Para cualquier $s$, los conjuntos de $U_{s0}$ $U_{s1}$ tienen distintos cierres.

Ahora tenga en cuenta que si $s$ es cualquier secuencia infinita de $0$s y $1$s, los puntos de $(x_t)$ donde $t$ rangos de la finita de segmentos inicial de $s$ forma de una secuencia de Cauchy (Cauchy debido a que están contenidos en bolas $U_t$ cuyos radios ir a $0$). Por integridad, esta secuencia converge a algún punto nos puede llamar a $x_s$. Tenga en cuenta que diferentes secuencias de dar diferentes puntos, desde $x_s$ es en el cierre de $U_t$ para cada segmento inicial $t$$s$, y en cada paso que eligió cada nuevo par de pelotas para tener distintos cierres. Así que esto da un claro punto de $X$ para cada secuencia infinita de $0$s y $1$s, demostrando que $|X|\geq\mathfrak{c}$.

Answer 3

Viendo como el topológica de la suma de los dos completamente metrizable espacios es completamente metrizable, tu pregunta es equivalente a preguntar si todo completo métrica espacios, sin puntos aislados tienen la misma cardinalidad, o en otras palabras, si cada espacio métrico completo sin puntos aislados tiene la cardinalidad del continuo.

La respuesta es no, porque no separables de Hilbert espacios pueden tener arbitrariamente grande cardinalidades.