Que es:
$$\left(\int_{a(x)}^{b(x)}\!f(x,t)\,dt\right)'$$
No sé cómo diferenciar una integral si las funciones de $x$ está en sus límites.
Pueden ustedes me muestre cómo hacer esto?
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CodingBytes
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Hay un intermedio función de tres variables, a saber: $$F(u,v,w):=\int_u^v f(w,t)\ dt\ .$$ Uno tiene $$F_u(u,v,w)=-f(w,u)\ ,\quad F_v(u,v,w)=f(w,v)\ ,\quad F_w(u,v,w)=\int_u^v f_w(w,t)\ dt\ ,$$ donde la última fórmula de Leibniz de la Regla "sin extras".
Cuando las variables $u$, $v$, $w$ convertido en funciones de $x$: $$u(x):=a(x)\ ,\quad v(x):=b(x)\ ,\quad w(x):=x\ ,$$ a continuación, la composición, $F$ define una función $\phi(x):=F\bigl(a(x),b(x),x\bigr)$. Con el fin de calcular la derivada $\phi'$, tenemos que utilizar la regla de la cadena y obtener las fórmulas dadas en la Nana de la respuesta.
goingglacial
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$$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)dt=f(x,b(x))\frac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\frac{d}{dx}a(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial{x}}f(x,t)dt,$$
donde he utilizado la Regla de Leibniz.
Tenga en cuenta que si $a(x)$ $b(x)$ son constantes, entonces tenemos un caso especial de la Regla de Leibniz.
Se puede aplicar la siguiente regla (regla de Leibniz): [editado en respuesta a Didier Piau del comentario]:
Si $$I(x)=J(u(x),v(x),x),\quad\text{with}\ J(\alpha,\beta,z)=\int_\alpha^\beta f(t,z)dt,\tag{1}$$
entonces, bajo condiciones adecuadas, tenemos
$$I^{\prime }(x)=\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)}\dfrac{\partial f(t,x)}{\partial x}dt+f(v(x),x)v^{\prime }(x)-f(u(x),x)u^{\prime }(x).\tag{2}$$
Para más detais ver esta respuesta de la mina.
Añadido 3. Pierre-Yves Gaillard comentario de prueba $(2)$. Yo derivan $(2)$ el siguiente, mediante el uso de este viejo post en el blog de la mina (en adelante $t$ es la variable independiente):
- (i) Deje $f\left( x,t\right)$ ser una función real definida en un rectángulo $R=[ a,b]\times[c,d]\in\mathbb{R}^{2}$. Si $f(x)$ es integrable en a $x$ para cada valor real de $t$ $\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}$ es continua en a$x$$t$$R$, entonces la derivada de la siguiente integral paramétrica $$I(t)=\displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x,t\right) dx\tag{3}$$ is given by $$I^{\prime }(t)=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx.\tag{4}$$
- (ii) Si los límites de integración son funciones de la $t$ $$I(t)=J(u(t),v(t),t)=\displaystyle\int_{u(t)}^{v(t)}f\left( x,t\right) dx,\tag{5}$$ entonces $$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{x}g\left( t\right) dt=g\left( x\right)\tag{6}$$ y $$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{x}^{b}g\left( t\right) dt=-\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{b}^{x}g\left( t\right) dt=-g\left( x\right).\tag{7}$$ Por la regla de la cadena, tenemos $$I^{\prime }(t)=\dfrac{dI}{dt}=\dfrac{\partial J}{\partial t}\dfrac{dt}{dt}+\dfrac{\partial J}{\partial v}\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{\partial J}{\partial u}\dfrac{du}{dt}\tag{8}$$ o
$$I^{\prime }(t)=\left( \dfrac{\partial }{\partial t}\displaystyle\int_{u}^{v}f\left( x,t\right) dx\right) \dfrac{dt}{dt}+\left( \dfrac{\partial }{\partial v}\displaystyle\int_{u}^{v}f\left( x,t\right) dx\right) \dfrac{dv\left( t\right) }{dt}+\left( \dfrac{\partial }{\partial u}\displaystyle\int_{u}^{v}f\left( x,t\right) dx\right) \dfrac{du\left( t\right) }{dt}.$$ $$\tag{9}$$ Por lo tanto $$I^{\prime }(t)=\displaystyle\int_{u\left( t\right) }^{v\left( t\right) }\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx+f\left( v\left( t\right) ,t\right) v^{\prime }\left( t\right) -f\left( u\left( t\right) ,t\right) u^{\prime}\left( t\right)\tag{10},$$
lo que demuestra $(2)$ ($x,t$ intercambiados).
Añadido. Comentario: para mi conveniencia, he cambiado el nombre de sus funciones $a(x),b(x)$. Las funciones de $a(x),b(x)$ son las funciones mencionadas $u(x),v(x)$.
Añade 2. Ejemplo (aquí $t$ es la variable independiente): Si $$I(t)=\displaystyle\int_{2t}^{t^{2}}e^{tx}dx,$$
a continuación,$f\left( x,t\right) =e^{tx},u\left( t\right) =2t$$v\left( t\right) =t^{2}$. Por lo tanto $v^{\prime }\left( t\right) =2t, u^{\prime }\left( t\right) =2$, e $$\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}=\dfrac{\partial }{\partial t}e^{tx}=xe^{tx}.$$
Por lo tanto, obtenemos
$$I^{\prime }(t)=\displaystyle\int_{u\left( t\right) }^{v\left( t\right) }\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx+f\left( v\left( t\right) ,t\right) v^{\prime }\left( t\right) -f\left( u\left( t\right) ,t\right) u^{\prime }\left( t\right),$$
$$I^{\prime}(t)=\displaystyle\int_{2t}^{t^{2}}xe^{tx}dx+2te^{t^{3}}-2e^{2t^{2}}=\dfrac{e^{t^{3}}\left( 3t^{3}-1\right) -e^{2t^{2}}\left( 4t^{2}-1\right)}{t^{2}}.$$
