¿Por qué no hay ninguna solución?

Question

Estoy tratando de encontrar una respuesta a la siguiente congruencia:

$$x^{81} \equiv 95 \pmod{126}$$

Y yo no pudimos encontrar ningún soltuon pero no sé por qué.

Primero yo, sin embargo, acerca de la descomposición en factores primos para $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ entonces me dijo bien $gcd(x,126) =1$ para obtener una solución a las salidas, porque de lo contrario el $gcd(x,126)$ no se dividen $95$

Luego he utilizado el phi de euler función desde que tengo ahora que $gcd(x,126) = 1$ y tengo que $\phi(126) = \phi(2) \times \phi(9) \times \phi(7) = 1 \times 6 \times 6 = 36$

y así que ahora tengo que $$x^{36} \equiv 1 \pmod{126}$$

Ahora elevamos a la potencia de $2$ así obtenemos $$x^{72} \equiv 1 \pmod{126}$$

Ahora, esto implica que $x^{81} \equiv x^9 \pmod {126}$

Ahora esto significa que $x^{9} \equiv 95 \pmod {126}$

Ahora estoy yendo en círculos, quiero mostrar que no hay ninguna solución que existe, pero ¿cómo ?

Answer 1

Sugerencia: Muestre que cualquier cubo es congruente a $0$ o $\pm 1$ modulo $9$.

Answer 2

Por Fermat Poco teorema $x^6\equiv \{0,1\}\pmod{7}$, lo $x^3\equiv \{0,\pm 1\}\pmod{7}$, lo $$x^{81}\equiv \left(x^{27}\right)^3\equiv \{0,\pm 1\}\not\equiv 95\equiv 4\pmod{7}$$

mod $9$ también puede resolver este (como André ha insinuado). Los cubos pueden sólo ser $0$ o $\pm 1$ mod $9$, debido a: $$(3k\pm 1)^3\equiv (3k)^3+3(3k)^2(\pm 1)+3(3k)(\pm 1)^2+\left(\pm 1\right)^3\equiv \pm 1\pmod{9}$$

Answer 3

Usted sabe que $x^{36}\equiv 1\pmod{126}$ todos los $x$ coprime a $126$. Por lo $x^9\equiv 95$ implicaría $95^4\equiv 1$. ¿Que tiene?

Answer 4

Esto ayuda a romper esta usando su factorización. Podemos reescribir la ecuación como el sistema de ecuaciones $$ x^9 \equiv 95 \pmod{2}\\ x^9 \equiv 95 \pmod{9}\\ x^9 \equiv 95 \pmod{7} $$ Por el teorema del resto Chino, una solución existirá para su problema sólo si hay una solución para este problema existe.

Podemos reducir estas ecuaciones un poco: $$ x \equiv 1 \pmod{2}\\ x^3 \equiv 5 \pmod{9}\\ x^3 \equiv 4 \pmod{7} $$ Es la segunda ecuación que no tiene solución. En particular, nos basta con mirar cada residuo módulo 9: $$ 0^3 \equiv 0\\ 1^3 \equiv 1\\ 2^3 \equiv -1\\ 3^3 \equiv 0\\ 4^3 \equiv 1\\ 5^3 \equiv -1\\ 6^3 \equiv 0\\ 7^3 \equiv 1\\ 8^3 \equiv -1 $$ Como se puede ver, es imposible obtener de $5$. Es decir, $5$ no es un cúbicos de residuos modulo 9.

Answer 5

Sugerencia $\mod\! 7\!:\ \ 0\not\equiv \overbrace{a^3\equiv b^2}^{\large c}\,\Rightarrow\! \overbrace{c^2}^{\large a^6\!\!}\!\!\equiv 1\equiv\!\!\overbrace{ c^3}^{\large b^6\!\!}\Rightarrow\, c\equiv 1$