Resolver un sistema de ecuaciones con 3 variables en menos de un minuto

Question

2x + y = 2
2y + z = 8
2z + x = 7

Quantity I: The average value of x, y, and z.
Quantity II: 2

Which of the following is true:

A) I is bigger than II
B) II is bigger than I
C) I is equal to II
D) Insufficient information to determine

Esta es una pregunta en un (hecho en casa) SAT-como prueba de que usted tiene un minuto por pregunta. Voy a resolver en la forma más básica posible (cambiar una variable por otra, la resolución para que, en el intercambio para la variable en la ecuación siguiente, etc), pero que ya es engorroso y los números se ponen a trabajar con los de aquí son muy implacable ($x = -\frac19$ , $y=2+\frac29$, $z=7+\frac {1}{18}$) para una prueba en la que usted tiene muy poco tiempo y sin calculadora.

Es allí una manera más rápida de solucionarlo?

Answer 1

Agregue las tres ecuaciones. El lado izquierdo es $3(x+y+z)$. El lado derecho es $17$. Por lo tanto, $\displaystyle{x+y+z\over 3} = {17\over 9}<2$.

Answer 2

El aceptó respuesta es suficientemente bueno como va. (Es el método que utiliza para obtener un primer corte en una respuesta.) Sin embargo, es incompleta, no funciona para overconstrained o underconstrained sistemas. Considerar \begin{align*} x &= 0 & & & x &= 1 \\ x &= 1 & & \text{or} & y + z &= 2 \\ x &= 2 & & & 2x &= 2 \text{.} \\ \end{align*} El overconstrained caso es (implícitamente) excluidos por el rango de respuestas para el problema: no hay desigualdad se cumple y tenemos suficiente información para decir eso. El underconstrained caso no es tan fácil de desechar. (Basta comparar el número de ecuaciones con el número de variables es insuficiente para ambos de estos ejemplos.) En resumen tenemos que comprobar que no existe una única solución.

Para ver esto en el problema dado: sería útil si sólo pudiéramos sustituir la segunda ecuación en la primera. Así que el doble de la primera y sustituto: $4x+2y = 4 \rightarrow 4x+(8-z) = 4$, que dice $4x-z = -4$. Asimismo, se duplica de nuevo, y el sustituto de la tercera ecuación: $8x - 2z = -8 \rightarrow 8x - (7-x) = -16$, que dice $9x = 9$.

Así que no es una solución y, para cualquier solución, $x=1$. Esta hecho con la primera y tercera ecuaciones da una opción única para$y$$z$, por lo que la solución es única, y el sistema no es underconstrained. Cuando tratamos de la misma cosa con el underconstrained sistema anterior, no encontramos una opción única para$y$$z$, por lo que no hay información suficiente para determinar el resultado.

Edit : Para aquellos convencidos de una underconstrained sistema siempre tiene un número finito de media... Encontrar el promedio de $x$, $y$, y $z$$2x = 2$.