Necesita ayuda con un conjunto muy simple de teoría de pruebas

Question

Yo soy de auto estudio de Munkres' Topología libro, y estoy teniendo un tiempo difícil escribir pruebas que se refieren a la teoría de conjuntos. Puedo ver por qué ciertos argumentos son verdaderas, pero la construcción de una prueba formal parece ser difícil. He aquí un ejemplo muy simple de un problema en el libro.

Deje $f:A \rightarrow B$

(a) Probar que $A_0 \subset f^{-1}(f(A_0))$, muestran que $A_0 = f^{-1}(f(A_0))$ si $f$ es inyectiva.

(b) Demostrar que $f(f^{-1}(B_0)) \subset B_0 $, muestran que $B_0 = f(f^{-1}(B_0))$ si $f$ es surjective.

Conceptualmente, las ideas son simples. En (a), vamos a $S$ ser el conjunto de imágenes de $A_0$ bajo $f$ (lo siento si yo uso no-notación convencional, todavía soy un poco nuevo en esto). Esto significa que $S= \{ b \mid f(a)=b \text{ for at least one } a \}$. Esto nos llevará a la inversa que puede terminar con algunas de las $a \in A^C_0$ donde $A^C_0$ es el complemento de a$A_0$$A$. Esto sucede porque la al menos una en la definición de S. Si nos dijo exactamente en su lugar, es decir, $f$ es inyectiva, podemos ver que $f^{-1}(f(A_0))$ nos daría $A_0$.

En (b) -- voy a escanear a través de éste, rápidamente, deje $P$ ser la pre-imagen de $B_0$ bajo $f^{-1}$. A continuación, $f^{-1}(B_0)$ nos da todos los puntos de $a$ s.t. $f(a)=b \in B_0$ Sin embargo no podemos garantizar que todos los $b \in B_0$ es la imagen de algunos. Por lo tanto, $f(f^{-1}(B_0))$ sólo le da un subconjunto de la original $B_0$. Si nos puede garantizar que todos los $b \in B_0$ tiene una coincidencia de $a \in A$ $f$ es surjective, tenemos toda la $B_0$.

Ahora que he demostrado que puedo entender cómo probar ambos (a) y (b), alguien me puede ayudar a poner estas pruebas en la elegante forma matemática?

Answer 1

Tienes razón, no sabes la geometría de lo que está pasando, y se han dado cuenta. Pero un par de veces al menos, vale la pena hacer los detalles, paso por la molienda de paso. La siguiente presentación es definitivamente no es elegante, ni está destinado a ser. Voy a hacer (una).

(a) (i) Nos muestran que la $A_0 \subset f^{-1}(f(A_0))$.

Deje $a\in A_0$. Tenemos que mostrar que $a\in f^{-1}(f(A_0))$.

Tenga en cuenta que $f(a) \in f(A_0)$. De ello se desprende que $a\in f^{-1}(f(A_0))$.

(ii) Vamos a $f$ ser inyectiva. Nos muestran que $A_0 = f^{-1}(f(A_0))$.

En la parte (i), hemos demostrado que $A_0 \subset f^{-1}(f(A_0))$. Vamos a demostrar que si $f$ es inyectiva, entonces $f^{-1}(f(A_0)) \subset A_0$.

Así que vamos a $a \in f^{-1}(f(A_0))$. A continuación, $f(a)=b$ algunos $b \in f(A_0)$. De ello se desprende que $b=f(a')$ algunos $a'\in A_0$.

Desde $f$ es inyectiva, y $f(a)=f(a')$, llegamos a la conclusión de que $a'=a$, y, por tanto,$a\in A_0$.

Answer 2

Aquí está una manera más precisa de expresar su prueba.

Deje $f : A \to B$ ser una función, $A_0 \subseteq A$, $B_0 \subseteq B$. Deje $f_! : \mathscr{P}(A) \to \mathscr{P}(B)$ ser la función de mapeo de los subconjuntos de a $A$ a sus imágenes en $f$; es decir, $f_! (A_0) = \{ b \in B : \exists a_0 \in A_0. \, f(a_0) = b \}$. Deje $f^* : \mathscr{P}(B) \to \mathscr{P}(A)$ ser la preimagen de mapa, que es, $f^*(B_0) = \{ a \in A : \exists b_0 \in B_0 . \, f(a) = b_0 \}$.

1. Siguiendo las definiciones anteriores, $f^* ( f_! (A_0)) = \{ a \in A : \exists a_0 \in A_0 . \, f(a) = f(a_0) \}$. Es inmediato que $A_0 \subseteq f^*(f_!(A_0))$. Si $f$ es inyectiva, entonces $f(a) = f(a_0)$ si y sólo si $a = a_0$, así que en ese caso $A_0 = f^*(f_!(A_0))$.

2. Del mismo modo, $f_!(f^*(B_0)) = \{ b \in B : \exists a \in A . \, \exists b_0 \in B_0 . \, f(a) = b = b_0 \}$. Es inmediato que $f_!(f^*(B_0)) \subseteq B_0$. Si $f$ es además surjective, a continuación, para todos los $b$$B$, existe un $a$ $A$ tal que $f(a) = b$, por lo que se deduce que el $f_!(f^*(B_0)) = B_0$ en este caso.

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Pero aquí es lo que creo una elegante prueba parece. Observar que $f_!$ $f^*$ son de inclusión-la preservación de los mapas y además tiene la siguiente contigüidad de la propiedad:

$$f_!(A_0) \subseteq B_0 \text{ if and only if } A_0 \subseteq f^*(B_0)$$

Esto es evidente a partir de la definición. Podemos decir $f_!$ es la izquierda adjunto de $f^*$, y, por supuesto, $f^*$ es el derecho adjoint de $f_!$. Obtenemos los siguientes resultados:

1. $A_0 \subseteq f^*(f_!(A_0))$. [Set $B_0 = f_!(A_0)$ y el uso de la contigüidad de la propiedad.]
2. $f_!(f^*(B_0)) \subseteq B_0$. [Set $A_0 = f^*(B_0)$ y el uso de la contigüidad de la propiedad.]
3. Ahora considere el $f_!(f^*(f_!(A_0)))$. Por (1), tenemos $f_!(A_0) \subseteq f_!(f^*(f_!(A_0)))$, y por (2)$f_!(f^*(f_!(A_0))) \subseteq f_!(A_0)$. Por lo $f_!(A_0) = f_!(f^*(f_!(A_0)))$. Pero está claro que $f_!$ es inyectiva si $f$ es inyectiva, por lo que podemos cancelar $f_!$ desde ambos lados de la ecuación para obtener $A_0 = f^*(f_!(A_0))$ en ese caso.
4. Del mismo modo, $f^*(f_!(f^*(B_0))) = f^*(B_0)$. Observar que $f^*$ es inyectiva si $f$ es surjective. [Confuso, pero cierto!] Así que en ese caso podemos cancelar $f^*$ y consigue $f_!(f^*(B_0)) = B_0$.

La razón por la que creo esto es una demostración elegante es porque destaca la simetría que subyacen a las dos preguntas. Por supuesto, usted es libre de estar en desacuerdo.

Ejercicio. Mostrar que $f^* : \mathscr{P}(B) \to \mathscr{P}(A)$ sí tiene un derecho adjoint $f_* : \mathscr{P}(A) \to \mathscr{P}(B)$. [Se llama la doble imagen del mapa.] El uso de la sólo la contigüidad entre propiedades $f_!$, $f^*$, y $f_*$, de probar lo siguiente:

1. $f_!$ $f^*$ preservar todos los sindicatos y el conjunto vacío. [Use el hecho de que están a la izquierda adjoints.]
2. $f^*$ $f_*$ preservar todas las intersecciones y el conjunto completo. [Utilice el hecho de que están en lo correcto adjoints.]