El levantamiento de las poleas de la especial de fibra a los genéricos de la fibra

Question

Deje $R$ ser un discreto anillo de valoración y deje $S = \operatorname{Spec}(R)$. Deje $\mathcal{X}\to S$ completa, regular, tv, conectadas $S$-esquema de finito tipo de cuyas fibras son suaves, proyectiva, geométricamente conectado curvas algebraicas. Deje $s \in S$ ser el punto cerrado, deje $\xi \in S$ ser el genérico punto, vamos a $\mathcal{X}_s$ ser el especial de fibra de $\mathcal{X}$, y deje $X = \mathcal{X}_\xi$ ser el genérico de fibra de $\mathcal{X}$.

Si $\mathscr{L}$ es invertible gavilla en $\mathcal{X}$, luego están los mapas de $\Gamma(\mathcal{X}, \mathscr{L})\to \Gamma(X, \mathcal{L}_\xi)$$\Gamma(\mathcal{X}, \mathscr{L})\to \Gamma(\mathcal{X}_s, \mathscr{L}_s)$. En las circunstancias adecuadas (creo que al $\mathscr{L}$ es generado por el mundial de secciones; tal vez necesitamos proyectivas de la normalidad?), estos dos mapas inducir surjections $\Gamma(\mathcal{X}, \mathscr{L}) \otimes_R k(\xi) \to \Gamma(X, \mathcal{L}_\xi)$$\Gamma(\mathcal{X}, \mathscr{L}) \otimes_R k(s) \to \Gamma(\mathcal{X}_s, \mathscr{L}_s)$.

Mi pregunta implica ir en la otra dirección:

Supongamos que tenemos $\mathscr{L}_s$ $\mathcal{X}_s$ el cual es generado por el mundial de secciones. Bajo qué condiciones, y cómo, se puede encontrar una invertible gavilla $\mathscr{L}$ $\mathcal{X}$ tal que $\Gamma(\mathcal{X}, \mathscr{L}) \otimes_R k(\xi) \to \Gamma(X, \mathcal{L}_\xi)$ $\Gamma(\mathcal{X}, \mathscr{L}) \otimes_R k(s) \to \Gamma(\mathcal{X}_s, \mathscr{L}_s)$ son surjective.

ETA: tenga en cuenta que estoy particularmente interesado en el "y de cómo"; es decir que, dado un (explícita) la base de la $\Gamma(\mathcal{X}_s, \mathscr{L}_s)$, ¿cómo ir sobre la búsqueda de un (explícita) la base de la $\Gamma(\mathcal{X}, \mathscr{L})$ que satisface la surjectivity propiedades anteriores (asumiendo $\mathscr{L}$ existe)?

Mi idea es tener una base de $\Gamma(\mathcal{X}_s, \mathscr{L}_s)$, ascensor a un $R$-módulo de $M$, y tomar la saturación $\operatorname{Sat}(M) = R^n \cap (M \otimes_R k(\xi))$ donde $n = \dim\Gamma(\mathcal{X}_s, \mathscr{L}_s)$. Algunos relacionados con la "sub-preguntas" con base en esta idea:

1. Supongamos $\Gamma(\mathcal{X}_s, \mathscr{L}_s)$ es generado por el mundial de secciones $\{\bar{s}_0, \ldots, \bar{s}_r\}$ y deje $M$ $R$- módulo generado por los ascensores $\{s_0, \ldots, s_r\}$ de la $\bar{s}_i$. Deje $\mathscr{M} = \widetilde{M}$ ser la gavilla asociados a $M$. A continuación, $M = \Gamma(\mathcal{X}, \mathscr{M}) \to \Gamma(\mathcal{X}_s, \mathscr{L}_s)$ es surjective. Bajo qué condiciones es $\mathscr{M}$ invertible?
2. Es esta $\mathscr{M}$ isomorfo a $\pi_*\mathscr{L}_s$ donde $\pi\colon\mathcal{X}_s \to \mathcal{X}$ es la canónica "proyección"?

N. B. Las condiciones que he mencionado en el primer párrafo que describa la (más restrictivo) situación en la que me interesa; yo sin duda estaría interesado en escuchar las respuestas válidas en un contexto más general. Siéntase libre de fortalecer cualquiera de las condiciones, según sea necesario; por ejemplo, creo que proyectiva normalidad podría jugar un papel en algún lugar, pero no estoy seguro de dónde exactamente.

Answer 1

El hecho de que usted ha tomado tales amabilidad acerca de las fibras y $\mathcal{X}$ le debería permitir hacer siempre lo mismo independientemente de si o no $\mathcal{L}$ a nivel mundial es generado o suficiente o nada.

La forma en que estoy pensando de su configuración es que tiene algún esquema de $X_s$$R/m=k$, e $\mathcal{X}\to S$ es una deformación de la misma. Dado $\mathcal{L}_s$ en el de la fibra especial, un punto de partida es preguntarse si es o no la línea de paquete se deforma con $X_s$ todo el camino a $X_\xi$.

Puesto que las fibras son curvas, y la obstrucción a la deformación de una línea de paquete se encuentra en $H^2(X_s, \mathcal{O})=0$ no hay ninguna obstrucción y la línea de paquete se deforma. Ahora usted tiene algunas de las $\mathcal{L}_\xi$ $X_\xi$ que cuando se limita a $X_s$$\mathcal{L}_s$.

Desde $\mathcal{X}$ es bueno que usted debe ser capaz de pensar de $\mathcal{L}_\xi$ como un divisor de Weil en $X_\xi$ y tomando Zariski el cierre se dará una línea bundle $\mathcal{L}$ sobre todo $\mathcal{X}$ que cuando se limita a las dos fibras mencionado le da la cosa correcta de la espalda (para hacer esto lo único que necesitaba era a $\mathcal{X}$ a nivel local factorial si mal no recuerdo).

Edit: no me interpretar sus mapas correctamente. Lo que tenemos ahora es un candidato con la propiedad de que $\mathcal{L}|_{X_s}\simeq \mathcal{L}_s$, lo que yo pensaba que iba a traducir en su mapa a la toma de las secciones, pero aún así es en teoría posible que $\Gamma (\mathcal{X}, \mathcal{L})=0$ mientras $\Gamma (X_s, \mathcal{L}_s)\neq 0$ así que tenemos que convertir esto a lo que realmente queremos de alguna manera.

Answer 2

Esto no es una respuesta completa sólo una propuesta: bajo la suposición de que hacer el especial de fibra de $\mathcal{X}_s$ es un habitual de la curva, por lo tanto invertible poleas corresponden a los divisores de Weil.

Suponga que la gavilla $\mathcal{L}_s$ corresponde a un Weil primer divisor $\mathcal{P}$$\mathcal{X}_s$. Existe una Weil primer divisor $P$ en el genérico de fibra de $X$ tal que $\mathcal{P}$ está contenida en el cierre de Zariski $\overline{P}$$P$$\mathcal{X}$. Desde $R$ es henselian $\mathcal{P}$ es el único punto de $\mathcal{X}_s$ acostado en $\overline{P}$. Deje $\mathcal{L}(P)$ $\mathcal{O}_\mathcal{X}$- ideal gavilla de la definición de la reducción de la subscheme estructura en $\overline{P}$. Por la construcción de esta gavilla es reflexiva y desde $\mathcal{X}$ es regular, por lo tanto es invertible y debe hacer el trabajo.

Si $\mathcal{L}_s$ corresponde a un divisor de Weil $e_1\mathcal{P}_1+\ldots +e_r\mathcal{P}_r$ se puede ampliar la construcción linealmente sustitución de $\mathcal{L}(P)$ por el producto (o tensor de producto) $\mathcal{L}(P_1)^{e_1}\cdot\ldots\cdot$ $\mathcal{L}(P_r)^{e_r}$.