Cuando podrían ser iguales? Los diferenciales de

Question

dado $ax^2y''+bxy'+cy=0$ a,b, y c son reales. x es positivo. Quiero mostrar que $$a \frac{d^2y}{dv^2} +(b-a)\frac{dy}{dv} +cy =0.$$ Este es un problema en una escuela primaria de texto, me he encontrado con más rigor el método en línea, pero estoy tratando de hacer sentido de que el último paso de mi propia menos rigores idea.

El uso de los coeficientes $a$, $b$, y $c$, observo que si esto es cierto entonces $$xy'=\frac{dy}{dv}\quad\text{y}\quad x^2y"= \frac{d^2y}{dv^2} - \frac{dy}{dv},$$ así que si me muestran las dos declaraciones anteriores son verdaderas voy ha justificado la subsitution.

Deje $\ln x = v$ $$\frac{1}{x} = \frac{dv}{dx}$$ $\ln$ es de uno a uno por lo que tiene una inversa y $$\begin{align*} x &= \frac{dx}{dv}\\ xy'&= \frac{dx}{dv} \frac{dy}{dx}\&&\text{by the chain rule}\\ xy'&= \frac{dy}{dv}. \end{align*}$$ Gran uno por uno para ir. Continuando con el anterior... $$x \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv}.$$ Puedo tomar la derivada con respecto al $x$ de ambos lados, utilizando el producto de la regla en el derecho. $$x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}  \left( \frac{dy}{dv} \right)$$ No me siento tan bien por el lado derecho, pero sigo adelante de todos modos.

$$x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}  \left( \frac{dy}{dv} \right) - \frac{dy}{dx}$$ desde $x$ es $e^v$, $x$ es su propia derivada respecto a $v$. Me multiplicar a través de por $x$: $$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = x \frac{d}{dx}  \left( \frac{dy}{dv} \right) - \frac{dy}{dx} \frac{dv}{dx}$$ regla de la cadena en el extremo derecho.

$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = x \frac{d}{dx}  \left( \frac{dy}{dv} \right) - \frac{dy}{dv}$$ Estoy tan cerca, pero estoy atascado! todo lo que quiero decir es: $$x^2y''= \frac{d^2y}{dv^2} - \frac{dy}{dv}$$ y es muy sugestive a escribir: $$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dx}{dv} \frac{d}{dx}  \left( \frac{dy}{dv} \right) - \frac{dy}{dv}$$ pero, ¿qué podría significar para cruzar la $dx/dx$? lo que está en mi camino? como me dijeron antes de aquí que dichas operaciones son de "dudosa", aunque todavía estoy tratando de entender por qué.

Pero sé que esto es verdad por lo que debe ser el caso que para estasfunciones $$\frac{dx}{dv} \frac{d}{dx}  \left( \frac{dy}{dv} \right) = \frac{d^2y}{dv^2}$$ tal vez puedo decir que el tipo de funciones que trabajan en los anteriores son sólo el que yo estoy trabajando con y, a continuación, me gustaría hacer?

Answer 1

Empezar con $$a{x^2}y'' + bxy' + cy = 0$$

que es una de Euler-Cauchy DE segundo grado. Ahora hacemos el cambio de variables,

$$x = e^z$$

A partir de aquí se obtiene que

$$dx = e^z dz$$

Así que ahora usted tiene

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dz}}\frac{{dz}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{dz}}\frac{1}{x}$$

Así

$$bx\frac{{dy}}{{dx}} = b\frac{{dy}}{{dz}}$$

Que es lo que correctamente derivados.

Para la segunda igualdad de ir por este camino

$$\eqalign{ & x = {e^z} \cr & \frac{{dy}}{{dx}} = {e^{ - z}}\frac{{dy}}{{dz}} \cr & \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{d}{{dx}}\left( {{e^{ - z}}\frac{{dy}}{{dz}}} \right) \cr & \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{d}{{dz}}\left( {{e^{ - z}}\frac{{dy}}{{dz}}} \right)\frac{{dz}}{{dx}} \cr & \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \left( {{e^{ - z}}\frac{{{d^2}y}}{{d{z^2}}} - {e^{ - z}}\frac{{dy}}{{dz}}} \right)\frac{{dz}}{{dx}} \cr & \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = {e^{ - 2z}}\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{z^2}}} - \frac{{dy}}{{dz}}} \right) \cr & {x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{{d^2}y}}{{d{z^2}}} - \frac{{dy}}{{dz}} \cr} $$

Aviso que lo que se utiliza es la regla de la cadena, en un lugar "algebraica".

Usted puede probar por inducción que

$${x^n}{D^n}y = \mathcal{D}\left( {\mathcal{D} - 1} \right) \cdots \left( {\mathcal{D} - n + 1} \right)y$$

Donde $\mathcal{D}=\dfrac{d}{dz}$ $D = \dfrac{d}{dx}$

Answer 2

Con respecto a $\frac{dx}{dx}$, la razón por la que dichas operaciones son de "dudosa" es porque hay una sutil diferencia entre el diferencial de la división y de aplicar el operador diferencial ($\frac{d}{dx}$), por lo que aunque se escriben de la misma manera, se podría argumentar que debe ser escrito $\frac{dx}{dx}$$\frac{d}{dx}x$. La distinción es clara en los diferenciales de orden superior: $\frac{dy^2}{dx^2}$ vs $\frac{d^2y}{dx^2}$($=\left(\frac{d}{dx}\right)^2y=\frac{d^2}{dx^2}y$).