Refutación de Euler de la conjetura de Fermat

Question

Fermat postuló que todos los números de la forma $$2^{2^n}+1$$ son primos (donde n = cualquier número entero). Entonces llegó Euler con una prueba bastante ingeniosa de que esto no era así. Me encontré con esto mientras leía el libro de William Dunham Viaje a través del genio, Capítulo 10.

Esto es lo esencial de lo que entiendo hasta ahora (de cómo Euler refutó la sugerencia anterior de Fermat):

Teorema A: Si $a$ es un número par, y $p$ es primo que no factoriza uniformemente en $a$ (pero es un factor de $a+1$ ), entonces $p = 2k+1$ para un número entero $k$ .

Hasta aquí todo bien, y Dunham discute la demostración de este teorema, pero voy a suponer que los matemáticos aquí presentes están familiarizados con esto.

A continuación pasamos al Teorema B.

Teorema B: Si $a$ es un número par y p es un primo (no un factor de $a$ ), y $p$ va uniformemente a $a^2+1$ , entonces para un número entero $k$ , $p = 4k+1$ pero $p$ no puede ser igual a $4k+3$ .

Así es como funciona:

1. En primer lugar, $a$ es par, por lo que $a^2$ también es par. Usando el Teorema A, es obvio que cualquier factor primo de $a^2+1$ es impar. Ergo, $p$ es impar (por lo que no es 2).

2. Si dividimos $p$ por 4, entonces $p$ puede ser igual a $4k+1$ o $4k+3$ .

3. Desde $p$ es un divisor de $a^2+1$ , p también se divide uniformemente en el producto ( $a^2+1$ )( $a^{4k}-a^{4k-2}+a^{4k-4}...+a^4-a^2+1$ ). La manipulación algebraica muestra que este producto es igual a $a^{4k+2}+1$ .

Y aquí es donde estoy confundido. ¿De dónde diablos saca Dunham ( $a^{4k}-a^{4k-2}+a^{4k-4}...+a^4-a^2+1$ ) de? No se ofrece ninguna explicación por su parte, por lo que se agradecería cualquier aclaración al respecto.

Más detalles Como se ha dicho antes, si dividimos $p$ por 4, entonces $p$ puede ser igual a $4k+1$ o $4k+3$ (lo que está bastante claro si se introducen los valores de $k$ ). Queremos demostrar que $k$ sólo puede ser igual a $4k+1$ y lo hacemos mediante una prueba por contradicción (suponiendo que $p=4k+3$ ). ¿Por qué queremos hacer esto? Bueno, queremos saber la forma de $p$ para que podamos averiguar los posibles factores de $2^{32}+1$ que Fermat postuló que era primo.

Desde $p$ no es un divisor de $a$ (por hipótesis), el pequeño teorema de Fermat sugeriría que $p$ va muy bien en $a^{p-1}-1=a^{{4k+3}-1}-1=a^{4k+2}-1$ .

Dice Dunham (p. 231):

"Por otro lado, hemos asumido que $p$ es un divisor de $a^2+1$ y por lo tanto $p$ también es un divisor del producto ( $a^2+1$ )( $a^{4k}-a^{4k-2}+a^{4k-4}...+a^4-a^2+1$ )."

Como este producto es igual a $a^{4k+2}+1$ y como $p$ va uniformemente a ambos $a^{4k+2}+1$ y $a^{4k+2}-1$ , $p$ es un divisor de ( $a^{4k+2}+1$ )-( $a^{4k+2}-1$ ) = 2, pero esto no puede ser cierto ya que $p$ es un primo de impar. Ergo, $p$ no es de la forma $p=4k+3$ .

Avisadme si necesitáis más detalles y demás.

Answer 1

Permítanme reformular el argumento y poner la contradicción en otro lugar:

Dejemos que $a$ sea un número entero par, y que $p$ sea un primo que divide a $a^2+1$ . Entonces $p$ es impar porque $a^2+1$ es impar, así que $p$ tiene un remanente $1$ o $3$ después de la división por $4$ Es decir, o bien $p=4k+1$ o $p=4k+3$ para algún número entero $k$ .

Supongamos hacia una contradicción que $p=4k+3$ para algún número entero $k$ . Por el pequeño teorema de Fermat sabemos que $p$ divide el número $$a^{p-1}-1 = a^{4k+2}-1,$$ y está claro que $p$ no divide $2$ . De ello se desprende que $p$ no divide $a^{4k+2}+1$ . Por supuesto $p$ divide $a^2+1$ y $a^2+1$ a su vez divide $a^{4k+2}+1$ . Pero entonces $p$ divide $a^{4k+2}+1$ una contradicción.

Para ver que $a^2+1$ divide $a^{4k+2}+1$ se puede escribir la multiplicación $$(a^2+1)(a^{4k}-a^{4k-2}+a^{4k-4}+\ldots+a^4-a^2+1).$$ Esto puede parecer magia, pero con el uso de un poco de álgebra abstracta uno puede ver rápidamente que $a^2+1$ debe dividir $a^{4k+2}+1$ sin tener que averiguar cuántas veces $a^2+1$ encaja en $a^{4k+2}+1$ exactamente. Una vez que se sabe que una divide a la otra, se puede aplicar (por ejemplo) el algoritmo de Euclides para encontrar exactamente cuántas veces $a^2+1$ encaja en $a^{4k+2}+1$ . De esta manera, puede encontrar la expresión grande y desagradable $a^{4k}-a^{4k-2}+a^{4k-4}+\ldots+a^4-a^2+1$ pero el único propósito de esta expresión en la prueba es mostrar que $a^2+1$ divide $a^{4k+2}+1$ .

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Vale la pena señalar que un poco de álgebra abstracta permite una demostración mucho más corta del Teorema B. Sólo requiere algo de aritmética modular y teoría de grupos:

Dejemos que $p$ sea un primo impar que divide a $a^2+1$ para que $a^2\equiv-1\pmod{p}$ . Entonces $a$ tiene orden $4$ en $(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})^{\times}$ Por lo tanto $4$ divide el orden de $(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})^{\times}$ que es $p-1$ . Esto demuestra que $p=4k+1$ para algunos $k\in\Bbb{Z}$ .