Grupo no abeliano $G$ de orden $p^3$

Question

Sólo necesito un poco de consejos para demostrarlo:

Dejemos que $|G|=p^3$ sea un grupo no abeliano. Si cada subgrupo de $G$ es normal, entonces $p=2$ y $G=Q_8$ .

Conozco los siguientes hechos sobre un grupo no abeliano $G$ de orden $p^3$ :

1. $Z(G)=G'=Z_p$

2. Si $p$ es un número impar, entonces la función $\phi:G\longrightarrow Z(G)$ dado por $ \phi(g)=g^p$ es un homomorfismo y $|\ker(\phi)|=p^2$ o $|\ker(\phi)|=p^3$ .

Answer 1

A la luz de los comentarios de Jack:

Corolario (1): Sea $G$ sea un finito $p$ -agrupar y dejar $N$ sea un subgrupo normal de $G$ . Entonces, si $|N|=p$ entonces $N\leq Z(G)$ .

Esto es una consecuencia de un conocido teorema que señala que si $G$ , un finito $p$ -tiene un subgrupo normal no trivial $N$ entonces $N\cap Z(G)\neq1$ .

Corolario (2): Sea $G$ sea un grupo no abeliano de orden $p^3$ , donde $p$ es un impar prime . Entonces $G$ tiene subgrupos normales $N$ tal que $$Z(G)<N<G$$ y $N\cong\mathbb Z_p\times\mathbb Z_p$ .

Según el segundo corolario, un grupo no abeliano $G$ , de orden $p^3$ , donde $p$ es impar primo, tiene subgrupos normales que no son centrales. Este corolario excluye $Q_8$ . Supongamos que $1\neq x\in G$ es un elemento de orden $p$ y $N=<x>$ . Como aceptamos que para nuestro grupo todos los subgrupos son normales en $G$ por lo que tendríamos una contradicción si $p$ sea impar prime .

Answer 2

Supongamos que $p$ es impar. Considere el núcleo de $\phi$ en el segundo hecho. Consiste exactamente en los elementos de orden que dividen $p$ y, por lo tanto, hay $p^2$ o $p^3$ de estos; siempre más que $p$ . Sin embargo, por el primer hecho, hay exactamente $p$ elementos centrales del orden que dividen $p$ . En particular, para cada primo impar $p$ y no abeliana $p$ -grupo $G$ hay un elemento no central de orden $p$ y el subgrupo que genera no es normal (ya que es de orden $p$ y no central por suposición).

Supongamos que $p=2$ . Luego hay dos casos muy explícitos, $D_8$ que no funciona, y $Q_8$ que lo hace.

Grupos como este, en el que cada elemento de orden $p$ son centrales, han sido estudiados por JG Thompson y otros. Mapas como $\phi$ siempre existen, y sirven para construir el exponente superior- $p$ serie del grupo. En particular, si $Z(G)$ es cíclico, $p$ es impar, y cada elemento de orden $p$ es central, entonces $G$ es cíclico. Si $Z(G)$ tiene rango 2, entonces la "serie del zócalo" de $G$ tiene factores de rango como máximo 2.