$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+\sin(x)}$$
Este es de la forma indeterminada del tipo $\frac{\infty}{\infty}$, por lo que podemos aplicar la regla de l'Hospital:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+\sin(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{(x)'}{(x+\sin(x))'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+\cos(x)}$$
Este límite no existe, pero el límite claramente enfoques $1$. Donde estoy equivocado?
De l'Hospital de la regla sólo le dice que si la modificación de límite existe y tiene valor $L$, entonces el límite original también existe y tiene valor $L$. No digo que lo contrario sostiene.
Así, el hecho de que la modificación del límite no existe, no le da ninguna información sobre el límite original. Así, es necesario un método diferente.
Considere la posibilidad de algo más directo: se puede calcular $$ \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+\sin x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+\frac{\sin x}{x}}? $$
De L'Hôpital la regla establece que: si $f$ $g$ son funciones diferenciables en un intervalo abierto $I$ (excepto, posiblemente, en un punto de $x_0$$I$), si $$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0 \;\mathrm{ or }\; \pm\infty,$$ if $g'(x)\ne 0$ for all $x$ in $I$ with $x \ne x_0$, and $\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, entonces:
$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\,.$$
El más clásico de los "contra-ejemplo" es cuando las funciones son constantes: $f(x)=c$$g(x)=1$. La derivada de $g(x)$ se desvanece en cualquier intervalo abierto, mientras que $f/g = c$.
La factorización de la propuesta por @Nick Peterson generalmente evita recurrir a la regla cuando no es necesario (sobre todo cuando la inderterminacy puede ser levantada con facilidad). Parece magia, y como para todo la magia, que deberá ser utilizado con parsimonia (a menos que desencadena terribles poderes).
los demás ya se dijo que l'Hôpital requiere la existencia del límite de la relación de los derivados; Sin embargo, además, con una sólida comprensión de la definición de límite es todavía posible demostrar la aplicación de la solución De l'Hôpital, pero no a la función que se piense acerca de esto:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+1} \leq \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x-\sin(x)} \leq \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x-1}$$ condensada, teniendo también en cuenta $-\infty$ con $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+sig(x)} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+\sin(x)} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-sig(x)}$$ donde $$sig(x)=\left\{ \begin{matrix} 0 & x=0\\ \frac{|x|}x & x\ne 0 \end{de la matriz} \right.$$
probar el de arriba mientras aplicar l'Hôpital para
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x\pm 1}$$
exprimir las inequidades de verdad, después de un cierto G, formalmente $\exists G / \forall x\in\Re,|x|>G : \frac{x}{x+sig(x)} \leq \frac{x}{x+\sin(x)} \leq \frac{x}{x-sig(x)}$
aplicar el límite de la definición de a $x \over x+sin(x)$ el punto de partida M seleccionar todo x>M tiene que ser mayor o igual que G (simplemente requieren $M\geq G$), en este caso M=G es lo suficientemente grande para decir que el límite es el mismo 1.
Más formalmente (en realidad, no encontrar una línea de pointable adecuada definición formal de $\lim_{x\to\infty}$, así que me lo estoy inventando)
$$\lim_{x \to \infty} f(x) = r\in \{\Re, -\infty, +\infty, NaN\} / \\ \existe r \in \Re : \forall \epsilon \in \Re \epsilon>0: \existe M \in \Re : \forall x \in \Re, |x| > M : |f(x)-r|<\epsilon \\ \lor r=\infty, omissis \\ \lor r=+\infty, omissis \\ \lor r=-\infty, omissis \\ \lor r=NaN, omissis. $$ (r como abreviatura de respuesta, NaN (no un número) es cuando el límite no existe y $\lor$ es en este caso un acceso directo o).
pensar en los nombres de
$f(x)=\frac{x}{x+\sin(x)}$
$g(x)=\frac{x}{x \pm 1}$, y cuando la definición de límite se utiliza con g(x) el límite inferior de la M se llama G
a partir de la evidente propiedad $\exists G' \in \Re^+ | \forall x \in \Re, |x|>G' : x-1 \leq x+\sin(x) \leq x+1$
$\Rightarrow \exists G \in \Re^+ | \forall x \in \Re, |x|>G : \frac{x}{x+sig(x)} \leq \frac{x}{x+\sin(x)} \leq \frac{x}{x-sig(x)}$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x\pm 1} \underleftarrow{=(?H)= \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{d}{dx} x}{\frac{d}{dx}(x \pm 1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 \pm 0}=1}$$ la existencia de este límite (son dos, debido a $\pm$) asegura que
$\forall \epsilon \in \Re, \epsilon>0: \exists G \in \Re : \forall x \in \Re, |x| > G : |g(x)-r|<\epsilon$
La elección de $M \geq G$ ($M$ está en el límite inferior de la definición de límite para $f(x)$) $$ \Rightarrow \lim_{x \to \infty} f(x)=1$$
Hay otra utilidad de la regla, que me parece que no hemos visto escrito de forma explícita:
Sea f, g, r, y s funciones que el g -> inf, r y s son acotados. Luego de tomar el límite de f / g o el límite de (f + r) / (g + s) da el mismo resultado.
Aplica aquí, ya que el pecado (x) es acotada, el límite es el mismo que el límite de x / x.
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