La continuidad de la función entre convexo y compacto conjuntos

Question

Dado que $$\Delta_n=(x_1,...,x_{n+1})\in \{\mathbb R^{n+1}: \Sigma x_i=1, x_i\geq0\},$$ set $P=\Delta_m\times\Delta_n$ and $s=m+n$. Since each point of $P$ and $\Delta_s$ can be describe using $s$ parameters, they can be embedded in $\mathbb R^s$ as $P'$ and $\Delta_s'$. Assume, wlog, $P'\subconjunto\Delta_s'$ (scaling and translation are homeomorphisms). Now, let $$ be a point in the interior of $P'$ and $\parcial P'$, $\partial\Delta_s'$ the boundaries of theses sets. Furthermore, for all $x\P'\barra invertida\{a\}$, let $r_x$ be the ray that starts at $$ and passes through $x$. Then, define $h:P'\rightarrow\Delta_s'$ as $h(a)=a$ and $$h(x)=a+\frac{|x'-a|}{|x''-a|}(x-a),$$ where $x'=r_x\cap \partial\Delta_s'$ and $x"=r_x\cap \parcial P'$. I'd like to check that $h$ es una función continua.

Mi intento: Desde $r_x=\{a+\lambda(x-a):\lambda\in \mathbb R_+\},$ $$h(x)=a+\frac{|\lambda_1(x-a)|}{|\lambda_2(x-a)|}(x-a)=a+k(x-a),$$ where $k=\lambda_1/\lambda_2$. But $k$ depends on $x$, so I guess I have to describe $\lambda_1$ and $\lambda_2$ in terms of $x$, pero no pude encontrarlos. Cualquier ayuda será valiosa. Gracias!

Como ejemplo, la siguiente figura representa el $P'$ $\Delta_s'$ si $P=\Delta_2\times\Delta_1$ ($\Delta_s=\Delta_3$).

Answer 1

Yo no podía contestar mi pregunta exactamente, pero he encontrado una manera de conseguir lo que me esperaba por ella. Mi intención era demostrar que $\Delta_n\times\Delta_m \simeq \Delta_{m+n}$. Por eso, creo que puede utilizar los siguientes pasos:

$(1)$ Definir $f:\Delta_{m+n}\rightarrow \mathbb R^{n+m}$$(x_1,...,x_{m+n},x_{m+n+1})\mapsto (x_1,...,x_{m+n})$. Es fácil ver que $f$ es un continuo (con $\delta:=\epsilon$, por ejemplo) y inyectiva mapa. Desde $\Delta_{m+n}$ es compacto y $A:=Im(f)$ es Hausdorff, $\Delta_{m+n} \simeq A$.

$(2)$ Asimismo, el establecimiento de $g:\Delta_n\times\Delta_m \rightarrow \mathbb R^{n+m}$ $$(x_1,...,x_{n+1},y_1,...,y_{m+1})\mapsto (x_1,...,x_n,y_1,...,y_m),$$ we conclude $\Delta_n\times\Delta_m \simeq B:=Im(g)$.

$(3)$ Desde la compacidad es invariante topológico, $A$ $B$ son compactos, y también son convexas y con interior no vacío. Pero un compacto y convexo conjunto $C\subset \mathbb R^{p}$ con interior no vacío es homeomórficos a un cerrado $p$-ball. A continuación, $A \simeq B \Rightarrow \Delta_n\times\Delta_m \simeq \Delta_{m+n}$.

Una prueba de la afirmación en la penúltima frase se puede encontrar en Glen Bredon de la Topología y la Geometría ($1993$, la página de $56$).