¿Cómo puedo derivar esta fórmula de la teoría gauge?

Question

Este es el ejercicio 3.4.14 de la obra de R. W. Sharpe Geometría diferencial .

Supongamos que $G$ es un grupo de Lie con el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ y $H$ es un subgrupo de Lie de $G$ . Sea $\theta$ ser un $\mathfrak{g}$ -valorado $1$ -forma en un colector $M$ y que $k:M\to H$ . Entonces, $$\mathrm{d}\!\left(\mathrm{Ad}_k^{-1}\theta\right)=\mathrm{Ad}_k^{-1}(\mathrm{d}\theta)-[\mathrm{Ad}_k^{-1}\theta,k^*\omega_H],$$ donde $\omega_H$ es la forma Maurer-Cartan en $H$ y $\mathrm{Ad}_k^{-1}\theta(X)=\mathrm{Ad}_k^{-1}(\theta(X))$ . En otras palabras, para los campos vectoriales $X,Y\in\Gamma(TM)$ , $$\mathrm{d}\!\left(\mathrm{Ad}_k^{-1}\theta\right)(X\wedge Y)=\mathrm{Ad}_k^{-1}(\mathrm{d}\theta(X\wedge Y))-[\mathrm{Ad}_k^{-1}(\theta(X)),L_{k\,*}^{-1}k_*Y]-[L_{k\,*}^{-1}k_*X,\mathrm{Ad}_k^{-1}(\theta(Y))].$$

He conseguido reducir esto a $$\mathrm{Ad}_k\!\left(X(\mathrm{Ad}_k^{-1}\theta(Y))-Y(\mathrm{Ad}_k^{-1}\theta(X))\right)=X(\theta(Y))-Y(\theta(X))-[\theta(X),R_{k\,*}^{-1}k_*Y]-[R_{k\,*}^{-1}k_*X,\theta(Y)],$$ pero no estoy seguro de que esto sea útil.

¿Alguien puede sugerir cómo probar esto?

Sharpe continúa diciendo que este ejercicio es "fundamental para las propiedades elementales de los calibres de Cartan", por lo que incluyo el teoría gauge etiqueta.

Answer 1

Bien, veamos. Empezaremos con los campos vectoriales $X$ y $Y$ y la fórmula

$d\{Ad(k^{-1})\theta\}(X,Y)=X(Ad(k^{-1})\theta(Y))-Y(Ad(k^{-1})\theta(X)-Ad(k^{-1})(\theta([X,Y]))$ ,

que es estándar.

Toda la acción está en los dos primeros términos, y por simetría sólo tenemos que mirar $X(Ad(k^{-1})\theta(Y))$ .

Comenzamos señalando que tenemos una regla de producto:

$X(Ad(k^{-1})\theta(Y))=X(Ad(k^{-1}))(\theta(Y))+Ad(k^{-1})(X(\theta(Y)))$ .

Si te sientes mareado porque eso es cierto, elige una base para $\mathfrak{g}$ y te das cuenta de que todo lo que estás haciendo es diferenciar la multiplicación de matrices. Otra razón potencial para sentirse desconcertado es la expresión $X(Ad(k^{-1}))$ Lo que empieza a tener sentido cuando se piensa en $Ad(k^{-1})$ como viviendo en el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de $\mathfrak{g}$ .

El único término antagónico anterior es $X(Ad(k^{-1}))$ que es lo mismo que $Ad(k^{-1})_*(X)$ (el empuje de $X$ ) ya que las transformaciones lineales de $\mathfrak{g}$ son un espacio vectorial. Trabajaremos este avance en un punto fijo $x\in M$ , señalando en primer lugar que $Ad(k^{-1})=Ad(\iota\circ k)$ donde $\iota$ denota la inversión en $H$ .

$Ad(k^{-1})_{*x}(X)=Ad_{*k(x)^{-1}}\iota_{*k(x)}(k_{*x}(X))$

Llame a $k_{*x}(X)=\xi=\xi_{k(x)}$ . Necesitamos saber qué $\iota_{*h}\xi$ resulta ser. Bueno, $\xi_{h}$ genera un campo vectorial invariante a la izquierda cuyo valor en $e\in H$ es $\omega_H(\xi_h)$ Así que $\xi_h=\displaystyle\frac{d}{dt}\big|_{t=0}h\exp(t\omega_H(\xi_h))$ y por lo tanto

$\iota_{*h}\xi=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}(h\exp(t\omega_H(\xi_h)))^{-1}=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\exp(-t\omega_H(\xi_h))h^{-1}=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}h^{-1}h\exp(-t\omega_H(\xi_h))h^{-1}=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}h^{-1}\exp(-tAd(h)\omega_H(\xi_h))=(L_{h^{-1}})_*(-Ad(h)(\omega_H(\xi_h)))$

(Esto es lo que dice la proposición 3.4.10 (ii) del libro de Sharpe).

Bien, ¿dónde estamos? Tenemos

$Ad(k^{-1})_{*x}(X)=Ad_{*k(x)^{-1}}(L_{k(x)^{-1}})_*(-Ad(k(x))(\omega_H(\xi)))=Ad_{*k(x)^{-1}}(L_{k(x)^{-1}})_*(-Ad(k(x))(k^*\omega_H(X)))$

Estamos bastante cerca. Llama a $-Ad(k(x))(k^*\omega_H(X))=\eta$ . Lo que tenemos que calcular es $Ad_{*}(L_{g^{-1}})_*(\eta)$ :

$Ad_{*}(L_{g^{-1}})_*(\eta)=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}Ad(g^{-1}\exp(t\eta))=Ad(g^{-1})\frac{d}{dt}\big|_{t=0}Ad(\exp(t\eta))=Ad(g^{-1})[\eta,\cdot]=[Ad(g^{-1})\eta,Ad(g^{-1})(\cdot)]$

Ahora sustituye $g=k(x)$ y esa engorrosa expresión para $\eta$ y encontramos que

$Ad(k^{-1})_{*x}(X)=Ad_{*k(x)^{-1}}(L_{k(x)^{-1}})_*(-Ad(k(x))(k^*\omega_H(X)))=[Ad(k(x)^{-1})(-Ad(k(x))(k^*\omega_H(X))),Ad(k(x)^{-1})(\cdot)]=-[k^*\omega_H(X)),Ad(k(x)^{-1})(\cdot)]$

Si juntamos todo esto, tenemos

$X(Ad(k^{-1}))(\theta(Y))=-[k^*\omega_H(X)),Ad(k(x)^{-1})(\theta(Y))]=[Ad(k(x)^{-1})(\theta(Y)),k^*\omega_H(X))]$

lo que nos lleva al cómputo final:

$d\{Ad(k^{-1})\theta\}(X,Y)=X(Ad(k^{-1})\theta(Y))-Y(Ad(k^{-1})\theta(X)-Ad(k^{-1})(\theta([X,Y]))=X(Ad(k^{-1}))(\theta(Y))+Ad(k^{-1})(X(\theta(Y)))-(Y(Ad(k^{-1}))(\theta(X))+Ad(k^{-1})(Y(\theta(X))))-Ad(k^{-1})(\theta([X,Y]))=[Ad(k(x)^{-1})(\theta(Y)),k^*\omega_H(X))]-[Ad(k(x)^{-1})(\theta(X)),k^*\omega_H(Y))]+Ad(k^{-1})(d\theta)(X,Y)=Ad(k^{-1})(d\theta)(X,Y)-[Ad(k(x)^{-1})\theta,k^*\omega_H](X,Y)$

que es lo que queríamos probar.

Answer 2

El paso crucial para ello es diferenciar la función $f:M\to GL(\mathfrak g)$ que mapea $x$ a $\text{Ad}(k(x))^{-1}$ . Para ello, observe primero que por definición $T_xk\cdot\xi$ es igual al valor en $k(x)$ del campo vectorial invariante de la izquierda generado por $X:=(k^*\omega_H)(\xi)(x)$ . Usando esto, se ve que $T_xf\cdot\xi$ puede calcularse como la derivada en $t=0$ de la curva $\text{Ad}(k(x)exp(tX))^{-1}=e^{t\text{ad}(X)}\circ\text{Ad}(k(x))^{-1}$ . De ahí que vea que $T_xf\cdot\xi=-\text{ad}(X)\circ\text{Ad}(k(x))^{-1}$ .

Ahora, si se inserta la definición de la derivada exterior, se obtiene primero un término $\xi\cdot(f(x)(\theta(\eta)(x)))$ y se puede ampliar como $(T_xf\cdot\xi)(\theta(\eta)(X))+f(x)((\xi\cdot\theta(\eta))(x))$ . Luego hay que restar el mismo término con $\xi$ y $\eta$ intercambiado y, por último, restar $f(x)(\theta([\xi,\eta])(x))$ . Ahora los tres términos en los que los valores de $\theta$ se diferencian suman $f(x)(d\theta(\xi,\eta))$ por lo que estos producen el primer término de la fórmula reclamada. Para los dos términos restantes, el cálculo anterior da $-[(k^*\omega_H)(\xi)(x),f(x)(\theta(\eta)(x))]+ [(k^*\omega_H)(\eta)(x),f(x)(\theta(\xi)(x))]$ , estos corresponden exactamente al segundo término.