Desigualdad estricta en Rudin la Prueba de la Representación de Riesz Teorema de

Question

En Rudin la prueba de la Representación de Riesz Teorema (paso diez), se muestra que

$$\Lambda h_i \leq \mu(V_i) < \mu(E_i) + \epsilon/n , \quad \mu(K) \leq \sum\limits_{1 \leq i \leq n} \Lambda h_i.$$

Escrito $A = \sum\limits_{1 \leq i \leq n} \Lambda h_i$, entonces se afirma que

$$\sum\limits_{1 \leq i \leq n} (|a|+y_i+\epsilon)\Lambda h_i - |a| A \leq \sum\limits_{1 \leq i \leq n} (|a|+y_i+\epsilon)(\mu(E_i) + \epsilon/n) - |a|\mu(K).$$

Mi pregunta es, ¿cómo evitar la desigualdad estricta? Como $\Lambda h_i < \mu(E_i) + \epsilon/n$, parece deducirse que

$$ \begin{align*} \sum\limits_{1 \leq i \leq n} (|a|+y_i+\epsilon)\Lambda h_i - |a| A &< \sum\limits_{1 \leq i \leq n} (|a|+y_i+\epsilon)(\mu(E_i) + \epsilon/n) - |a|A\\ &\leq \sum\limits_{1 \leq i \leq n} (|a|+y_i+\epsilon)(\mu(E_i) + \epsilon/n) - |a|\mu(K) \end{align*} $$ y, por tanto, que

$$\sum\limits_{1 \leq i \leq n} (|a|+y_i+\epsilon)\Lambda h_i - |a| A < \sum\limits_{1 \leq i \leq n} (|a|+y_i+\epsilon)(\mu(E_i) + \epsilon/n) - |a|A.$$

Answer 1

Respondió un comentario:

Así, incluso si. Cuando la desigualdad estricta sostiene, el débil tiene demasiado. Ya que al final uno hace una operación limitante $\varepsilon \to 0$, el resultado final sería una (la deseada) debilidad de la desigualdad, si escribió una estricta o débil antes. (Sí, la desigualdad estricta sí que hay, pero siempre se puede escribir algo más débil de lo que realmente vale si conveniente.) --Daniel Fischer Jun 29 '13 a las 20:56