Suma de dos cuadrados prueba

Question

Encontrar dos pares de enteros positivos primos relativos $(a,c)$, de modo que $a^2 + 5929 = c^2$. Se puede encontrar pares adicionales con $gcd(a,c) > 1$?

Lo que yo sé:

$gcd(a,c) = 1$ implica que hay algunos $x$ $y$ tal que $ax + cy = 1$. Desde $a d$oes no se dividen $c$, supongo que el $a^2$ no divide $c^2$ (necesita confirmación). En ese caso tenemos $gcd(a^2, c^2) = 1$, por lo que hay algunos x e y tales que $a^2 x + c^2 y = 1$. No estoy 100% seguro de si eso nos lleva a cualquier parte, sino que les da una ecuación que es algo de coincidencia de la pregunta.

Deje $c^2 = d$ sabemos que un número $d$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados si todos sus factores primos son 2 o congruentes a $1 (mod 4)$. Tenemos $\sqrt(5929) = 77$. Así tenemos que si $d = a^2 + 5929$, $d$ debe ser un producto de distintos números primos que son congruentes a $1 (mod 4)$ o el 2.

Lo que me estoy perdiendo de aquí que se me mantiene la espalda de contestar a esta? No parece una pregunta muy difícil pero estoy teniendo problemas con él. Tal vez la medianoche de habla :(.

Answer 1

Este es un enfoque simplista que viene a la mente. Viendo los cuadrados sobre los lados opuestos de una ecuación se me hace querer mover uno de ellos y el uso de la diferencia de los cuadrados de la fórmula. Es decir, me puedo resistir la tentación de reescritura que como $5929=(c-a)(c+a)$. Esto nos lleva al planteamiento de factoring $5929=7^211^2$, lo que en todas las opciones posibles de $c-a$$c+a$. E. g., la elección de $c+a=11^27$ $c-a=7$ conduce a $c=\frac{7}{2}(11^2+1)$$a=\frac{7}{2}(11^2-1)$. El análisis de todas esas posibilidades, es una manera de encontrar la respuesta.