¿Cómo puedo calcular una presentación de la tangente de paquete para un buen colector definido por una familia de polinomios?

Question

Considere la posibilidad de un suave colector $M$ dado por un sistema de polinomios $$ \begin{align*} f_1 = 0 \\ \cdots \\ f_k = 0 \end{align*} $$ en $n$ variables. Esto tiene la descripción algebraica como la $\mathbb{R}$-álgebra $$ C^\infty(M) = \frac{C^\infty(\mathbb{R}^n)}{(f_1,\ldots,f_k)} $$ ¿Cómo puedo calcular la tangente y la cotangente en su conjunto, en términos de una presentación similar de álgebras?

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Aquí es un ejemplo de las respuestas:

Considere el círculo $$ C^\infty(S^1) = \frac{C^\infty(\mathbb{R}^2)}{x^2 + y^2 - 1} $$ Entonces, el vector normal campos para el colector debe ser generado por los vectores $$ y\frac{\partial}{\partial x} x \frac{\partial}{\partial y} $$ desde $$ \left(y\frac{\partial}{\partial x} x \frac{\partial}{\partial y}\right)(x^2 + y^2 - 1) = 2xy - 2xy = 0 $$ Pero, esto me confunde ya que el vector tangente evaluado en (1,0) debe ser $$ -\frac{\partial}{\partial y}|_{(1,0)} $$ que se parece a un vector tangente si se dibuja la imagen.

Answer 1

Primero de todo, a fin de que el subconjunto $M\subset \mathbb R^n$ definido por el sistema $$ \begin{align*} f_1 = 0 \\ \cdots \\ f_k = 0 \end{align*} $$be a submanifold you have to assume that the Jacobian matrix $J(f)(x)=(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x))$ has rank $k$ at every $x\in M$.
Si este es el caso, el espacio de la tangente a $M$ $x$ se compone de la $n-k$ dimensiones subespacio $T_x(M)\subset T_x(\mathbb R^n)= \{x\}\times\mathbb R^n $ definido por: $$T_x(M)= \{x\}\times \{v\in\mathbb R^n\vert d_x f_i(v)=0 \quad i=1,\cdots ,k \} $$ where of course $d_x f_i(v)=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)\cdot v_j$

Su ejemplo
En su ejemplo,$n=2, k=1,M=S^1$$f_1=f=x^2+y^2-1$ .
Por tanto, para $m=(a,b)$ $a^2+b^2=1$ tenemos $d_mf(u,v)=2au+2bv$ y por lo tanto $$T_mS^1=\{m\}\times \{(u,v)\in \mathbb R^2\vert au+bv=0\}$$ which can (prudently!) be identified with the line $au+bv=0$ in $\mathbb R^2$ .
En particular, $T_{(1,0)}S^1=\{(1,0)\}\times \{(u,v)\in \mathbb R^2\vert u=0\}$ que puede (con prudencia!) ser identificado con $\{0\}\times \mathbb R\subset \mathbb R^2$

Answer 2

edit: puedo escribir la secuencia de otra manera alrededor, confundido mí y dio una respuesta incorrecta. Ahora debe ser correcto.

Deje $M\subseteq \mathbb{R}^n$ ser el colector. Tenemos la siguiente secuencia exacta de vector de paquetes: $$0\rightarrow TM\rightarrow T\mathbb{R}^n_{\mid M}\rightarrow\mathcal{N}_{M/\mathbb{R}^n} \rightarrow 0$$

y ahora campos vectoriales en $M$ corresponden a las restricciones de los campos vectoriales $v$ $\mathbb{R}^n$ que se desvanecen en $f_1$,...,$f_k$ yo.e: $$v(f_1)=...=v(f_k)=0$$ Así que la respuesta correcta es: $$\langle v_{\mid M} \mid v(f_1)=...=v(f_k)=0\rangle$$