Cuando uno habla de Lebesgue integrabilidad o la falta de ella, ¿qué se puede decir, exactamente? Qué significa que no podemos tomar una Lebesgue la integral de dicha función, porque simplemente no está bien definido ... o qué significa la integral es finito? Así que si en la segunda, aunque una función como $f(x) = c$ $c > 0$ no es Lebesgue integrable?
Respuestas
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PhoemueX
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Una función que no es Lebesgue integrable en (al menos) una de las siguientes propiedades:
No es (Lebesgue) medible. En este caso, esencialmente, todas las apuestas están apagadas. Nonmeasurable funciones sólo pueden ser construidos usando alguna forma de que el axioma de elección,de modo que todas las funciones que aparecen en la práctica (seccionalmente continua, monótona,...) son Lebesgue medibles.
Tenga en cuenta que puede suceder para $|f|$ ser medibles (incluso integrable), a pesar de $f$ no es mensurable. Un ejemplo es $f=1_A - 1_{A^c}$ donde $A$ no es mensurable.
$f$ es medible, sino $\int |f|\,dx =\infty$. Esto significa que $f$ es "demasiado grande" para admitir a un finito integral. En este caso,puede suceder que $f$ es cuasi integrable lo que significa $\int f_+ \, dx <\infty$ o $\int f_-\, dx <\infty$ donde $f_+,f_-$ denotar el positivo y negativo de las piezas de $f$. En estos casos, disponemos de $\int f \,dx =-\infty$ o $\int f \,dx =\infty$, respectivamente.
Por último, si $f$ es integrable, esto significa que $f$ es medible y $\int |f|\,dx <\infty$, lo que implica entonces que $\int f \,dx$ está bien definida número real.
Alec Teal
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Significa que no satisfacen los requisitos para ser Lebesgue integrable.
Ampliando esa
Si digo algo que no es X significa que no satisfacen la definición de X (o algo lógicamente equivalente)
si $P\implies $es lebesugue integrable, a continuación, mostrando no $P$ no es suficiente. Si Lebesugue integrable $\implies P$ $¬P\implies$ no lebesgue integrable.
Como de costumbre.
