Que $A$ y $B$ $n \times n$ real matrices tal ser que $AB=BA=0$ y $A+B$ es invertible

Question

Me encontré con el siguiente problema que dice:

Que $A$ y $B$ $n \times n$ real matrices tal ser que $AB=BA=0$ y $A+B$ es invertible. Entonces cómo puedo probar lo siguiente:

1. rango $A$ + fila $B$ = $n$

2. nulidad $A$ + nulidad $B$ = $n$

3. $A-B$ es invertible.

¿Alguien puede señalarme en la dirección correcta? Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

1. Significa que primer $AB=0$ $\mbox{Im}B\subseteq \mbox{Ker}A$, por lo tanto $\mbox{rank}B\leq \mbox{null} A=n-\mbox{rank} A$. Ahora $\mathbb{R}^n=\mbox{Im}(A+B)\subseteq \mbox{Im}A+\mbox{Im}B$, por lo tanto, $n\leq \mbox{rank}A+\mbox{rank}B\leq \mbox{rank}A+n-\mbox{rank} A=n$. Así $\mbox{rank}A+\mbox{rank}B=n$.

2. Teorema de rango-nulidad en $A$ y $B$.

3. Observe que $(A-B)^2=A^2+B^2=(A+B)^2$.

Nota: sólo necesitamos $AB=0$ 1 y 2.

Answer 2

$BA = 0$ implica que la nulidad de $B \geq$el rango de % de $A$. $AB = 0$ implica que la nulidad de $A \geq$el rango de % de $B$.

$$ n(B) \geq r(A)$$ $$ n(A) \geq r(B)$$ $$ n(A) + r(A) + n(B) + r(B) = 2n$$

La pieza final del rompecabezas es que $A + B$ es invertible, esto significa que el $r(A) + r(B) \geq n$ puesto que no podemos sumar dos conjuntos de vectores y producir más linealmente independiente vectores que la suma de la fila de los dos conjuntos. La única conclusión es que el $r(A) + r(B) = n$ y $n(A) + n(B) = n$.

A es inversible, que $A-B$ $(A - B)^2 = A^2 + B^2 = (A + B)^2$

Answer 3

$\operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A+\operatorname{rank} B-n$como $AB=0$rango de % de % de $AB=0$ % $ $$0 \geq \operatorname{rank} A+\operatorname{rank} B-n=0$