Supongamos $\{\alpha n\}$ es la parte fraccionaria de $\alpha n$. Poner $$A_{\alpha}(n) = \#\{\{\alpha k\} < 1/\sqrt{k} : k \leq n\}.$$ Si $\alpha$ es irracional, puedo encontrar algunas constantes $K$ tal que $A_{\alpha}(n) < K \sqrt{n}$ todos los $n$? ¿El orden de $A_{\alpha}(n)$ dependen de la $\alpha$? Supongamos $1/\sqrt{k}$ es reemplazado por alguna función de $f(k)$. ¿Qué puedo decir sobre el número de $\{\alpha n\}$ menos de $f(n)$ $n$ tiende a infinito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El Weyl equidistribución teorema dice que para irracional $\alpha$ y muchos arañazos $k$, las partes fraccionarias $\{\alpha k\}$ será equidistributed en el intervalo de $[0,1]$.
Para aplicar esto a su problema en particular, considere la posibilidad de un gran intervalo de $k\in[N,2N]$. Porque de equidistribución, los números de $k$ "hit" la condición de $\{\alpha k\} < 1/\sqrt{N}$ aproximadamente el $1/\sqrt{N}$ del tiempo, es decir, habrá aproximadamente el $N·1/\sqrt{N} = \sqrt{N}$ números de $k$ desde el intervalo que cumplen con la condición.
Por supuesto, estamos realmente interesados en la condición de $\{\alpha k\} < 1/\sqrt{k}$, por lo que hemos sobreestimado un poco las cosas, pero va a trabajar.
Ahora, armando intervalos juntos por la elección de $N=2^M$ como una secuencia de potencias de dos, se obtiene una estimación a lo largo de las líneas de
$$A_\alpha(n=2^M) \lesssim \sqrt{1} + \sqrt{2^1} + \sqrt{2^2} + .. + \sqrt{2^{M-1}} \leq K \sqrt{2}^M = K\sqrt{n} $$
como se desee. Puede que tengas que rellenar en algunos epsilons y cosas para hacer la prueba precisa, pero este es el núcleo del argumento.
En el caso general, un argumento similar se va a producir una buena obligado, siempre que la función de $f(k)$ no desaparecen muy rápido. Si no desaparecen muy rápido, entonces sólo puede ir a mejor, aunque el mejor obligado podría ser más difícil de probar.
