La elección de una secuencia adecuada de $\{1,2,3\}$

Question

Dejemos que $f_1,f_2,f_3$ sean los mapas de contratación $f_i:x\mapsto \frac{1}{2}(x+p_i)$ de $\mathbb{R^2}$ a sí mismo y $p_i\in \mathbb{R}^2$ . Denotado por $S$ el atractor Sierpinki gastek del sistema de funciones iteradas $(f_1,f_2,f_3)$ . Quiero demostrar lo siguiente

Dado un punto $a\in \mathbb{R}^2$ y una secuencia $k_n$ de elementos $\{1,2,3\}$ definimos $x_0=a$ y $x_{n+1}=f_{k_n}(x_n)$ . Entonces

(1) Cada punto de acumulación de $\{x_n\}$ pertenece a $S$

(2) Para cada punto $x\in S$ existe una secuencia $k_n$ tal que $\{x_n\}$ tiene $x$ como punto de acumulación.

(3) Existe un punto $a$ y una secuencia $k_n$ de manera que cada punto de $S$ es un punto de acumulación de $\{x_n\}$

He resuelto sólo $(1)$ . Todas estas propiedades deberían ser una consecuencia del Teorema del punto fijo para las contracciones y del hecho de que la función $$A\mapsto \bigcup_{i=1}^3 f[A]$$ es una contracción en el hiperespacio de $\mathbb{R}^2$ -el espacio de todos los subconjuntos compactos no vacíos de $\mathbb{R}^2$ con la métrica de Hausdorff.

He resuelto (1) utilizando este teorema y encontrando una secuencia en $S$ que se comporta de forma "idéntica" a la secuencia $\{x_n\}$ -significa que encuentro una secuencia $y_n\in S$ tal que $|y_n-x_n|<\epsilon$ para una adecuada $n$ y cada $\epsilon>0$ .

Me quedo atascado con los otros. He intentado varias formas de resolver este problema de los otros dos pero no encuentro cómo satisfacer la propiedad de $\{x_n\}$ . Intuitivamente, tengo que encontrar cómo el punto inicial "camina" hacia el punto $x$ (punto $(2)$ ) pero no encuentro la secuencia adecuada. ¿Alguna pista?

Para $(3)$ la situación es aún más extraña porque debo encontrar un punto y una secuencia de tal manera que el punto "camina por todas partes" en $S$ Estoy bastante seguro de que el punto inicial es cualquier punto en $S$ . ¿Cómo puedo demostrarlo?

Estos son resultados clásicos sobre conjuntos auto-similares y son realmente importantes para entender la propia naturaleza de muchos ejemplos de fractales. ¡Agradezco mucho la ayuda!

Answer 1

Llamaré $E$ el conjunto de subconjuntos compactos no vacíos de $\Bbb R^2$ .
Si $x \in \Bbb R^2$ y $Y \in E$ definimos la distancia de $x$ a $Y$ por $d_x(Y) = \min_{y \in Y} ||x-y||$ . Desde $Y$ es compacto esto realmente es un mínimo, y $d_x(Y) = 0 \iff x \in Y$ .

Entonces la métrica de Hausdorff sobre $E$ se define por $d(X,Y) = \max(\max_{x \in X} d_x(Y) ; \max_{y \in Y} d_y(X))$ .

Tenga en cuenta que para todos los $x \in \Bbb R^2$ , $d_x : E \to \Bbb R$ es continua (más exactamente, $|d_x(Y)-d_x(Z)| \le d(Y,Z)$ ).

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dejar $\phi : E \to E$ definido por $\phi(A) = \bigcup f_i[A]$ . Como usted ha señalado, $\phi$ es una contracción ( $d(\phi(X),\phi(Y)) \le \frac 12 d(X,Y)$ ) y tiene un único punto fijo $S \in E$ y para todos $A \in E$ , $\phi^{\circ n}(A) \to S$

Para demostrar $(1)$ , elegimos $A = \{a\}$ . Entonces $A_n$ es el conjunto finito de todas las imágenes posibles de $a$ después de $n$ aplicaciones de algunos $f_i$ , por lo que son todos los valores posibles de $x_n$ .
Supongamos que $y$ es un punto de acumulación de dicha secuencia $(x_n)$ . Entonces existe una secuencia $(n_i)$ tal que $||x_{n_i} - y || \to 0$ y como $x_{n_i} \in \phi^{\circ n_i}(A)$ tenemos $d_y(\phi^{\circ n_i}(A)) \le ||y-x_{n_i}||$ Por lo tanto $d_y(\phi^{\circ n_i}(A)) \to 0$ .
Desde $d_y$ es continua y $\phi^{\circ n_i}(A) \to S$ obtenemos $d_y(S) = 0$ y por lo tanto $y \in S$ .

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Para demostrar que $(2)$ y $(3)$ ( $a$ puede ser de hecho cualquier punto).

En primer lugar, vemos que para todos los $y \in S, \varepsilon > 0, x \in \Bbb R^2$ existe $n \in \Bbb N$ y $x' \in \phi^{\circ n}(\{x\})$ tal que $||x' - y || < \epsilon$ (sólo tenemos que elegir $n$ tal que $d(\phi^{\circ n}(\{x\}),S) \le \epsilon$ ). Dicho de otro modo, siempre existe una secuencia finita de movimientos que lleva $x$ a un punto $x'$ en $\epsilon$ de $y$ .

Para demostrar $(2)$ lo aplicamos repetidamente con un $y \in S$ y $\epsilon = 1,1/2,1/3,\ldots$ . Desde cualquier $a$ hay una secuencia finita que trae $a$ a $a_1$ tal que $||a_1-y|| \le 1$ entonces hay una secuencia finita que trae $a_1$ a $a_2$ tal que $||a_2-y|| \le 1/2$ y así sucesivamente.

Para demostrar $(3)$ hacemos lo mismo pero en lugar de centrarnos en un $y$ intentamos llegar dentro de $\epsilon$ de todos en $S$ antes de sustituir $\epsilon$ con un valor menor.

Desde $S$ es compacto, para todos los $\epsilon > 0$ existe un subconjunto finito $S_\epsilon \subset S$ tal que $d(S_\epsilon,S) \le \epsilon/2$ .
Desde cualquier punto $a \in \Bbb R^2$ podemos construir una secuencia finita de movimientos a partir de $a$ de manera que la secuencia obtenida quede dentro de $\epsilon/2$ de cada punto de $S_\epsilon$ .
Esto es suficiente para que esa secuencia finita entre en $\epsilon$ de cualquier punto de $S$ .

Una vez más repetimos esto para $\epsilon = 1,1/2,1/3,\ldots$ para construir una secuencia infinita de movimientos que se acerque arbitrariamente a cualquier elemento de $S$ .