Formas bilineales en C[0,1]

Question

Deje $C[0,1]$ ser el espacio vectorial real de los valores de funciones continuas en $[0,1]$. Entonces $$B(f,g) = \int_0^1{f(x)g(x)\, dx}$$ es una forma bilineal en $C[0,1]$. Más generalmente, si $k:[0,1]^2\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces $$B_k(f,g) = \int_{[0,1]^2}{f(x)g(y)k(x,y)\,dx\, dy}$$ es una forma bilineal.

En Keith Conrad notas sobre formas bilineales, él le pregunta si hay un $k$ correspondiente al primer ejemplo. Mi intuición sugerida por primera vez la función característica de la diagonal, pero que no es continua. Seguramente debe ser algo como esto, pero no puedo pensar en lo que debería ser.

Hay otra pregunta que a donde él nos pide encontrar las condiciones en $k$ en virtud de la cual $B_k$ será un bilineal simétrica forma. Hice una prueba de que a su vez necesaria y suficiente para $k(x,y) = k(y,x)$, pero mi prueba no es bastante. Existe un natural de la prueba?

Answer 1

Para la primera pregunta: nos gustaría tener para cualquier $f$ $g$ continuo que $\int_0^1f(x)\left(g(x)-\int_0^1k(x,y)g(y)dy\right)dx$. Esto implica que $g(x)=\int_0^1k(x,y)g(y)dy$ todos los $g$ continuo. Por Stone-Weierstrass teorema, $k$ es approximable por finito de sumas de términos de la forma $a(x)b(y)$, por lo tanto la identidad de $[0,1]$ $[0,1]$compacto: no es posible.

En $B_k(g,f)$, cambie el papel de la $x$$y$: esto da para cada una de las $f$ $g$ continuo, $$\int_{[0,1]^2}f(x)g(y)(k(x,y)-k(y,x))dxdy=0.$$ Tome $F(x,y)$ continua en $[0,1]$ aproximado, mediante combinaciones lineales $\sum a_i(x)b_i(y)$.

Answer 2

1) No. Si ese $k$ existía, denotan $M:=\sup |k|$. Entonces $$ \big|\int_0^1 f^2\Big|=\Big|\iint f(x)f(y)k(x,y)dxdy\big|\leq \iint|f(x)||f(y)|Mdxdy=M\left(\int_0^1 |f|\right)^2 $$ para cada función continua $f$$[0,1]$. A continuación, para cada una de las $n\geq 1$, considere la función continua $f_n$ definido por $f_n(x):=\frac{1}{\sqrt{x}}$$[1/n,1]$$f_n(x):=\sqrt{n}$$[0,1/n]$. Tenemos $$ \log n=\int_{1/n}^1\frac{1}{x}dx\leq \int_0^1f_n^2\leq M\left(\int_0^1 |f_n|\right)^2\leq M\left(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx\right)^2=4M. $$ Deje $n$ tienden a $+\infty$ para obtener el deseado contradicción.

2) Si $B_k(f,g)=B_k(g,f)$,$u(x,y):=k(x,y)-k(y,x)$. Usted obtener, como se observa por Davide Giraudo, $$ \iint_{[0,1]^2} f(x)g(y)u(x,y)dxdy=0 $$ para cada $f,g$ continua en $[0,1]$. A partir de aquí, hay varias maneras a la conclusión de que la $u=0$. Aquí hay dos posibles.

a) la Aplicación de esta última a$f(x)=x^n$$g(y)=y^m$, obtenemos, por linealidad, $\iint p(x,y)u(x,y)dxdy=0$ por cada polinomio en dos variables $p(x,y)$. Por Stone-Weierstrass, $u$ puede ser de manera uniforme aproximada por dichos polinomios. Por lo $\iint u^2=0$ donde $u^2=0$ desde $u^2$ es continua y no negativa.

b) Aproximar uniformemente funciones características de intervalos de funciones continuas, obtenemos $\iint 1_I(x)1_J(y)u(x,y)dxdy=\iint 1_{I\times J}\cdot u=0$ para todos los intervalos de $I,J$$[0,1]$. Si $u$ no $0$, por la continuidad, no existiría de no trivial intervalos de $I,J$ tal que $u\geq \alpha>0$ $I\times J$ (o $u\leq -\alpha<0$). A continuación, $0=\iint 1_{I\times J}\cdot u\geq \alpha \lambda(I)\lambda(J)>0$ (o $<0$). Contradicción.