La mejor manera de resolver un 2.ODE complicado

Question

Llevo un tiempo trabajando en esta ecuación. Encuentra la solución particular de:

$$y''-4y'+y=te^t+t$$

Mi primer instinto fue utilizar el método de los coeficientes indeterminados, resolviendo para $te^t$ y $t$ por separado.

Así que probé esto: $$y_{p1}=ate^t+be^t, y_{p2}=at+b$$ A continuación, he calculado lo que sería para $y''$ y $y'$ y ponerlos de nuevo en la ecuación original $y''-4y+y$ . Esto dio lugar a: $$y_{p1}:-2a-2at-2b=t,y_{p2}:a=t(1+3a)$$ Así que normalmente me libraría del $t$ y encontró un valor para el $a$ 's. ¿Estoy haciendo esto mal, o no puedo usar coeficientes indeterminados aquí?

De todos modos, también probé la variación de los parámetros y terminé con esta abominación: $$y_h=c_1e^{2t+\sqrt{3}t}+c_2e^{2t-\sqrt{3}t}$$ Lo que da: $$V_1'=-V_2'e^{2\sqrt{3}}$$ y $$V_2'(-e^{2\sqrt{3}t}+(2+\sqrt{3})e^{2t+\sqrt{3}t})=te^t+t$$

Entonces, ¿cómo resolverías esta tarea? ¿Lo he hecho mal? La pregunta ha sido respondida:

TRABAJAR:

$$y_{p1}=ate^t+be^t, y_{p2}=at+b$$ $$y_{p1}:-2a-2at-2b=t,y_{p2}:a=t(1+3a)$$

Para $y_{p1}$ : $$(-2a)t+(-2a-2b)=t$$ $$-2at=t,-2a-2b=0$$ $$a=-1/2,b=1/2$$

Para $y_{p2}$ : $$-4a+at+b=t$$ $$at=t,-4a+b=0$$ $$a=1,b=4$$

Haciendo $$y_p=y_{p1}+y_{p2} = -1/2te^t+1/2e^t+t+4$$ Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Su solución para la parte homogénea de la EDO $y_h=c_1e^{2t+\sqrt{3}t}+c_2e^{2t-\sqrt{3}t}$ está bien.

Para encontrar una solución particular para la parte de la EDO : $y''-4y'+y=t$ también está bien suponer la forma $y_{p2}=at+b$ . Póngalo en $y''-4y'+y=t$ y encontrarás $a=1$ y $b=4$ .

Para encontrar una solución particular para la parte de la EDO : $y''-4y'+y=te^t$ usted observa que $y_{p1}=2ate^t$ no encaja. Prueba con $y_{p1}=(At+B)e^t$ . Póngalo en $y''-4y'+y=te^t$ y encontrarás $A=-\frac{1}{2}$ y $B=\frac{1}{2}$