¿Multivariado de regresión polinomial ortogonal?

Question

Como un medio de motivar a la pregunta, considere la posibilidad de un regresison problema en donde buscamos para estimar el $Y$ el uso de las variables observadas $\{ a, b \}$

Al hacer multivariante polinomio regresison, trato de encontrar el óptimo paramitization de la función

$$f(y)=c_{1}a+c_{2}b+c_{3}a^{2}+c_{4}ab+c_{5}b^{2}+\cdots$$

que mejor ajuste los datos en por lo menos el cuadrado de sentido.

El problema con esto, sin embargo, es que los parámetros $c_i$ no son independientes. Es allí una manera de hacer la regresión en un conjunto diferente de "base" de los vectores que son ortogonales? Hacer esto tiene muchas ventajas obvias

1) los coeficientes son no correlacionados. 2) los valores de la $c_i$'s mismos ya no dependen del grado de los coeficientes. 3) Esto también tiene la ventaja computacional de ser capaz de caída de los términos de orden superior para una más gruesa, pero aún precisa aproximación a los datos.

Esto se consigue fácilmente en la única variable de caso de uso de polinomios ortogonales, el uso de un bien estudiado como, por ejemplo, los Polinomios de Chebyshev. No es obvio sin embargo (para mí) ¿cómo generalizar esta! Se me ocurrió que yo podría mutiply polinomios de chebyshev de a pares, pero no estoy seguro de si eso es matemáticamente correcta de hacer las cosas.

Su ayuda es muy apreciada

Answer 1

Para la finalización de la causa (y para ayudar a mejorar las estadísticas de este sitio, ja) me pregunto si este documento no también responder a su pregunta?

RESUMEN: Hablamos de la elección de un polinomio de base para la aproximación a la propagación de la incertidumbre a través de complejos modelos de simulación con capacidad de salida de derivados de la información. Nuestro trabajo es parte de un gran esfuerzo de investigación en la cuantificación de la incertidumbre utilizando métodos de muestreo aumentada con información derivada. El enfoque tiene nuevos retos en comparación con el estándar de regresión polinomial. En particular, mostramos que un producto tensor multivariante polinomio ortogonal base de un arbitrario de grado no podrá ser construido. Ofrecemos condiciones suficientes para que un ortonormales conjunto de este tipo que existe, una base para el espacio que se extiende. Nos demuestran los beneficios de la base en la propagación de material de incertidumbres a través de un modelo simplificado del transporte de calor en un reactor nuclear. En comparación con el producto tensor polinomio de Hermite de la base, la base ortogonal resultados en un mejor numérico acondicionado del procedimiento de regresión, una modesta mejora en la aproximación de error cuando la base de polinomios son elegidos a priori, y una mejora significativa cuando la base de polinomios son elegidos de forma adaptativa, mediante un paso a paso del procedimiento de ajuste.

De lo contrario, el tensor producto de una dimensión de polinomios no es sólo la técnica adecuada, sino también el único que yo puedo encontrar para este.