Dejemos que $k$ sea un campo y $A$ sea un álgebra finitamente generada (conmutativa) sobre $k$ . Si $A_1$ y $A_2$ son generados finitamente $k$ -subálgebras de $A$ ¿es cierto que $A_1 \cap A_2$ también está generada finitamente (como álgebra) sobre $k$ ? ¿Y si $A$ es un anillo polinómico?
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Herms
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Basta con mostrar que la intersección de dos semigrupos finitamente generados dentro de un semigrupo conmutativo finitamente generado no es necesariamente finitamente generado, pues entonces se pueden considerar las álgebras de semigrupos.
Así que dejemos $A$ ser generado libremente por $\{y,z\}\cup\{x_n:n\geq1\}$ con sujeción a las relaciones $yx_n=x_{n+1}$ y $zx_n=x_{n+1}$ para todos $n\geq 1$ y $x_nx_m=x_{nm}$ para todos $n,m\geq1$ (Obsérvese que $A$ coincide de hecho con el conjunto de generadores dado...). Sea $A_1$ sea el subsemigrupo generado por $y$ y $x_1$ y que $A_2$ sea el subsemigrupo generado por $z$ y $x_1$ . Entonces $A$ , $A_1$ y $A_2$ son de generación finita y conmutativa, pero la intersección $A_1\cap A_2$ es el subsemigrupo de $A$ generado por $\{x_n:n\geq1\}$ que es isomorfo a $\mathbb N$ bajo el producto. Esto no se genera finitamente.
Más tarde: Yemon pregunta en un comentario si se puede cambiar esto para que el álgebra contenedora sea un dominio. Creo que esto funciona: dejemos que $A$ sea el álgebra generada por $\{y,z,u\}\cup\{x_n:n\geq2\}$ con sujeción a las relaciones $yx_n=x_{n+1}$ y $zx_n=x_{n+1}+u$ para todos $n\geq 2$ y $x_nx_m=x_{nm}$ para todos $n,m\geq1$ , dejemos que $A_1$ ser generado por $y$ y $x_2$ y que $A_2$ ser generado por $z$ , $u$ y $x_2$ . (Tengo que quitar $x_1$ por lo demás $x_1(x_1-1)=0$ )
Thomas Bayer ha encontrado un contraejemplo utilizando anillos de invariantes dentro de anillos polinómicos.
