Ideal para dos polinomios de tres variables

Question

Considerar el conjunto de $B=\{(t^2,t^3,t^4)\mid t\in \mathbb{C}\}$. Es una subvariety $\mathbb{C}^3$, porque es igual a $V(y^2-x^3,z-x^2)$.

¿Cómo podemos encontrar el ideal $I(B)$? Creo que es $I(\langle y^2-x^3,z-x^2\rangle)$. Está claro que $I(\langle y^2-x^3,z-x^2\rangle)\subseteq I(B)$, ya que desaparece cualquier polinomio $a(x,y,z)(y^2-x^3)+b(x,y,z)(z-x^2)$ $B$, pero ¿cómo podemos probar la otra inclusión, es decir, $I(B)\subseteq I(\langle y^2-x^3,z-x^2\rangle)$?

Answer 1

Deje $I=\langle Y^2-X^3,Z-X^2\rangle\subset \mathbb C[X,Y,Z]$ .
En el cociente $\frac {\mathbb C[X,Y,Z]}{I}=\mathbb C[x,y,z]$ donde$z=x^2$$y^2=x^3$, cada elemento puede ser escrito $f(x,y,z)=a(x)+b(x)y$ donde $a(X), b(X)\in \mathbb C[X]$ son polinomios: basta con sustituir en $f(x,y,z)$ cada ocurrencia de $z$$x^2$, la aparición de $y^2$ $x^3$ y repetir.
Por lo tanto cada polinomio $f(X,Y,Z)\in \mathbb C[X,Y,Z]$ puede ser escrito como $$f(X,Y,Z)=a(X)+b(X)Y+i(X,Y,Z) \;\text {with}\; i(X,Y,Z)\in I $$ So, to say that $f(X,Y,Z)$ vanishes on $B$ means that $f(t^2,t^3,t^4)=a(t^2)+b(t^2)t^3+i(t^2,t^3,t^4)=a(t^2)+b(t^2)t^3$ must be zero for all $t\in \mathbb C$ (recall that since $i$ is in $I$, $i$ vanishes on $B$).

Y ahora, para el golpe de gracia:

Todos los monomials en $a(t^2)$ incluso han exponentes considerando que todos los monomials en $b(t^2)t^3$ tiene de exponente impar : de modo que la identidad de $a(t^2)+b(t^2)t^3\equiv 0$ sólo se puede mantener si $a(X)=b(X)=0 \in \mathbb C[X]$.
Pero, a continuación, $f(X,Y,Z)=a(X)+b(X)Y+i(X,Y,Z)=i(X,Y,Z)$ pertenece a $I$:
hemos demostrado que cualquier polinomio $f(X,Y,Z)$ de fuga en $B$ satisface $f(X,Y,Z)\in I$, por lo que el $I:=\langle Y^2-X^3,Z-X^2\rangle=I(B)$.

Answer 2

En $\mathbb N_0^3$ definir el orden siguiente: $$\tag1(i,j,k)<(i',j',k'):\Leftrightarrow ( k<k'\lor(k=k'\land(j<j'\lor(j=j'\land i<i')))).$$ Este es un fin en $\mathbb N_0^3$. Para $0\ne f(x,y,z)=\sum_{i,j,k}a_{i,j,k}x^iy^jz^k\in\mathbb C[x,y,z]$ definir $$ v(f)=\max\{\,(i,j,k)\mid a_{i,j,k}\ne 0\,\}$$ donde el máximo es de tomarse con respecto a la orden dada por $(1)$ (y existe porque al menos uno y sólo un número finito de coeficientes son cero). Suponga $I(B)\setminus\langle y^2-x^3,z-x^2\rangle\ne \emptyset$ y deje $f(x,y,z)\in I(B)\setminus\langle y^2-x^3,z-x^2\rangle$ minimizar $v$. Si $(i,j,k)=v(f)$ $k\ge 1$ implicaría que $$f_1(x,y,z):=f(x,y,z)-a_{i,j,k}x^iy^jz^k+a_{i,j,k}x^{i+2}y^jz^{k-1}\in I(B)\setminus\langle y^2-x^3,z-x^2\rangle$$ con $v(f_1)<(i,j,k)$, contradicción. Por lo tanto,$k=0$. Siguiente, $j\ge 2$ implicaría que $$f_2(x,y,z):=f(x,y,z)-a_{i,j,0}x^iy^jz^k+a_{i,j,0}x^{i+3}y^{j-2}z^k\in I(B)\setminus\langle y^2-x^3,z-x^2\rangle$$ con $v(f_2)<(i,j,k)$, contradicción. Por lo tanto,$j\le 1$. Por lo tanto podemos escribir $$f(x,y,z)= g(x)+h(x)y$$ con $g,h\in\mathbb C[x]$. Para todos los $t\in\mathbb C$ tenemos $f(t^2,t^3,t^4)=g(t^2)+h(t^2)t^3=0$. Por lo tanto el polinomio $g(t^2)+h(t^2)t^3\in\mathbb C[t]$ es el cero polynommial. Como $g(t^2)$ sólo tiene incluso poderes y $h(t^2)t^3$ sólo impar poderes, no la cancelación se produce entre los sumandos, es decir, $g$ $h$ debe ser cada uno el polinomio cero. Pero, a continuación, $f$ es el polinomio cero, contrariamente a la suposición.