¿Cómo puedo escribir esta prueba sobre derivadas parciales mejor?

Question

Esta pregunta no es sobre el contenido real de las matemáticas tanto como se trata de un estilo. Yo no voy a la escuela, así que mi opinión sobre este tipo de problemas es limitada. ¿Cómo podría mejorar esta prueba de legibilidad? Y si este no es el tipo de pregunta que es adecuado aquí, donde sería un mejor lugar? El problema es bastante sencillo (de poco Spivak):

Si $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$$D_2f=0$, muestran que $f$ es independiente de la segunda variable. Si $D_1f=D_2f=0$, muestran que $f$ es constante.

La definición de "independiente de la segunda variable" que estamos usando es:

Una función de $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es independiente de la segunda variable si para cada una de las $x\in \mathbb{R}$ tenemos $f(x,y_1)=f(x,y_2)$ todos los $y_1,y_2\in\mathbb{R}$.

Mi solución ya he escrito es:

Suponga $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$$D_2f=0$. Deje $x$ ser arbitraria. Por la integración, $\int f_2(x,y)=\int 0=C$ para algunas constantes $C$. De ello se desprende que $f(x,y_1)=f(x,y_2)=C$ todos los $y_1,y_2\in\mathbb{R}$. Desde $x$ fue arbitraria, se desprende de la definición que $f$ es independiente de la segunda variable.

Para mostrar que $f$ es constante cuando se $D_1f=D_2f=0$ procedemos por la contradicción. Suponga que $f$ no es constante. Entonces existe algún $x_1,y_1,x_2,y_2$ tal que $f(x_1,y_1) \ne f(x_2,y_2)$. Desde $f$ es independiente de la segunda variable, se deduce que el $f(x_1,y_1)=f(x_1,y_2)$$f(x_1,y_2) \ne f(x_2,y_2)$. Por el valor medio teorema existe $x\in(x_1,x_2)$ tal que

$$Df_1(x,y_2)=\displaystyle\frac{f(x_2,y_2)-f(x_1,y_2)}{x_2-x_1} \ne 0$$

cual es el deseado contradicción.

Answer 1

He marcado como "wiki de la comunidad" para mí...

Su argumento es un poco vago en el primer párrafo, que tiene una integral indefinida, pero lo que realmente queremos es la función; es decir, desea $f(x,y_1)=C$. Edit: El problema con esto es que, si usted recuerda, la integral indefinida de no producir una función, sino que produce una familia de funciones, es decir, todos los antiderivatives de su función, y no un valor de una función en particular.

Sería mejor utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo, que puede utilizar para obtener los valores específicos de una función (o para ser más precisos, la diferencia entre dos valores de una función), y escribir algo a lo largo de estas líneas:

Deje $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ ser una función tal que $D_2f=0$. Revisión arbitraria $x$; entonces para cualquier $y$ tenemos: $$f(x,y)-f(x,0) = \int_0^y D_2f(x,t)dt = \int_0^y 0dt = 0,$$ así que para fija $x$, $f(x,y)=f(x,0)$ para todos los $y$. Por lo tanto, $f$ es independiente de la segunda variable.

Usted puede, por supuesto, reemplace $0$ con otro punto por encima.

Para la segunda parte, ¿por qué no utilizar la primera parte? De $D_2f=0$ conocer $f$ es independiente de la segunda variable; el mismo argumento, mediante el intercambio de $x$$y$, muestra que de $D_1f=0$ se puede conseguir que la $f$ es independiente de la primera variable. Así que usted tiene $$f(x_1,y_1) = f(x_1,y_2) = f(x_2,y_2)$$ para cualquier $(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$; en primer lugar la igualdad debido a que $f$ es independiente de la segunda variable, en segundo lugar, porque es independiente de la primera. Entonces usted no tiene que invocar algo como el Valor medio Teorema.

Pero, en cualquier caso, permítanme señalar que, parece ser, suponiendo que $(x_1,y_1)\neq(x_2,y_2)$ implica que el$x_1\neq x_2$$y_1\neq y_2$, pero esto no es cierto. Usted no sabe a priori que $x_2\neq x_1$; todo lo que sabemos es que el $(x_1,y_1)\neq(x_2,y_2)$, y por lo tanto cualquiera de las $x_1\neq x_2$ o $y_1\neq y_2$ (o ambos). Su argumento se rompe si $x_1=x_2$, y debe tener en cuenta que el caso por separado. También me gustaría añadir que en algún momento, en el caso de $x_1\neq x_2$, que "podemos suponer sin pérdida de generalidad que $x_1\lt x_2$", por lo que "$x\in(x_1,x_2)$" tiene sentido.