En el libro de teoría de números de Ireland y Rosen, cap.8, p94, se explica cómo utilizar las sumas de Jacobi para encontrar el número de soluciones de la ecuación $x^{3}+y^{3}=1$ .
Del libro: $N(x^{3}+y^{3}=1)=p-\chi(-1)-\chi^{2}(-1)+2ReJ(\chi,\chi)=p-2+2ReJ(\chi,\chi)$ .
Mi pregunta es, ¿cómo conseguimos la parte $2ReJ(\chi,\chi)$ ? Me gustaría una explicación detallada, aunque creo que debe ser fácil ya que se omitió. gracias
La fórmula por la que preguntas está en la parte superior de la página 95 de mi copia del libro. Se deriva de una fórmula que se encuentra en la parte inferior de la página 94 de mi copia utilizando la observación de que $\chi^2$ es el complejo conjugado de $\chi$ de lo que se deduce que $J(\chi,\chi)+J(\chi^2,\chi^2)$ es el doble de la parte real de $J(\chi,\chi)$ .
Se comienza con la fórmula en la mitad de la página 93, que expresa $N(x^3+y^3=1)$ como una suma de 9 sumas de Jacobi. Se utiliza el Teorema 1 de la página 93 para evaluar 7 de esas 9 sumas, y eso nos lleva a la fórmula con $J(\chi,\chi)+J(\chi^2,\chi^2)$ .
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