Punto por punto, el % de transformación $T(x, y) = (4x - y, 3x -2y)$envía la línea $x + 2y = 6$ en una línea de la imagen. ¿Cuál es la pendiente de la imagen?

Question

La pregunta es la siguiente:

Punto por punto, el % de transformación $T(x, y) = (4x - y, 3x -2y)$envía la línea $x + 2y = 6$ en una línea de la imagen. ¿Cuál es la pendiente de la imagen?

No entiendo lo que esta pregunta básicamente. ¿Cómo es que la transformación es capaz de enviar una línea en una "línea de la imagen" (un término que no estoy aún familiarizado con)? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Piense en $T$ aquí como enviar todos puntos $(x,y)$satisfacción $x+2y=6$ $(x',y')=(4x-y,3x-2y)$. Ya que existe una ecuación entre $x$y $y$, allí debe también ser uno entre $x'$ y $y'$ y esta última ecuación será la línea de la imagen. $$x'=4x-y$ $ $$y'=3x-2y$ $ $$-2x'=2y-8x$ $ $$y'-2x'=-5x\qquad x=(2x'-y')/5\tag1$ $ $$y'=3/5(2x'-y')-2y$ $ $$2y=3/5(2x'-y')-y'=6/5x'-8/5y'$ $ $$y=(3x'-4y')/5\tag2$ $ Entonces sustituyendo $(1)$ y $(2)$ $x+2y=6$: $$(2x'-y')/5+2(3x'-4y')/5=6$ $ $$8x'-9y'=30$ $ $$y'=(8x'-30)/9$ $ esta es la línea de imagen, y su pendiente es $\frac89$.

Answer 2

$T:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^2}$.

$T(x,y) \mapsto (x',y')$,

$x'=4x-y$; $y'=3x-2y.$

Resolución de $x,y$ $x',y'$.

$2x'-y'=5x$; y $ 3x' -4y' =5y$.

Se transforma la línea $x+2y = 6$:

$5x +10y =30 \rightarrow$

$(2x'-y' ) + 2 (3x'-4y') =30.$

$8x' - 9y' = 30.$

Pendiente de la línea de la imagen: $m' = 8/9.$

Answer 3

asumir $h=4x-y$ y $k=3x-2y$ ahora toma la imagen del $(h,k)$ del punto con respecto a la línea de $4x+2y=6$ obtendrá un punto, ahora usted puede obtener fácilmente la pendiente