campo de números algébricos

Question

¿Nadie sería capaz de darme un resumen o una indirecta hacia la prueba de que el campo de números algébricos es una infinita extensión del campo de los racionales? Muchas gracias

Answer 1

Si usted sabe el criterio de Eisenstein, usted podría considerar el % de números algébricos $\sqrt[n]{2}$, para lo cual uno tiene $$ \lvert \Bbb{Q} [\sqrt[n]{2]}: \Bbb{Q} \rvert = n, $$ ya que el polinomio mínimo de $\sqrt[n]{2}$ $\Bbb{Q}$ es $x^n - 2$, este último es irreducible sobre $\Bbb{Q}$ de Eisenstein.

$n \ge 1$ Es arbitrario, esto demuestra que el grado del campo de los números algebraicos sobre los racionales no puede ser finito.