Círculo revoluciones rodando alrededor de otro círculo

Question

Acabo de ver este video y estoy un poco perplejo.

Problema:

El radio del Círculo A es 1/3 del radio del Círculo B.

El Círculo A rueda alrededor del Círculo B una vez de regreso a su punto de inicio.

¿Cuántas veces girará el Círculo A en total?

La respuesta intuitiva es 3, pero la respuesta correcta es 4. Entiendo el truco -- que el centro del Círculo A debe recorrer una distancia de $2\pi(r_B + r_A)$, no $2\pi r_B -- pero todavía estoy confundido en un aspecto.

Corriendo el riesgo de sonar muy no-matemático, ¿cómo se relacionan (de manera infinita) los puntos en la circunferencia de cada círculo para lograr esto?

Considera que el Círculo A rueda a lo largo de una línea recta con la longitud de la circunferencia del Círculo B. Entonces girará 3 veces. Es como si el universo "supiera" cuándo aplicar un mapeo de puntos diferente cuando cambias la disposición de la materia.

Answer 1

Nada nuevo, pero una forma diferente de ver la pregunta:

Primero considera un círculo con un hexágono interior (en general, una figura de n lados). Luego, el círculo rodará la distancia de la circunferencia MÁS un ángulo que se debe a la inclinación en los bordes. Así, el ángulo adicional (el $+1$ que buscas) asciende en total a

$$6 \cdot \frac{2\pi}{6} = 2\pi, (n \cdot \frac{2\pi}{n} = 2\pi)$$

explicando el giro extra, sin importar cuántos bordes tomes para tu aproximación.

Segundo, considera un enfoque infinitesimal: Para $x \in [0, R)$, $f(x) = \sqrt{R^2-x^2}$ es un círculo con radio $1$. Más tarde, también necesitamos

$$f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}$$

Un vector tangente $\vec{T}$ en $x$ es $$\vec{T}=\begin{pmatrix}1\\f'(x)\end{pmatrix}$$ y $\vec{T'}$ en $x+\Delta x$ es $$\vec{T}=\begin{pmatrix}1\\f'(x+\Delta x)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\f'(x)+f''(x)\cdot \Delta x + \frac{f''(x)}{2}\Delta x^2\end{pmatrix}$$.

Ahora, el coseno del ángulo $\Delta \alpha$ entre los dos vectores es

$$\cos(\Delta \alpha)=\frac{\vec{T}\cdot \vec{T'}}{\left|\vec{T}\right|\cdot \left|\vec{T'}\right|}$$

Para el primer orden, esto es

$$h(\Delta x) = \frac{1+\frac{f'f''\Delta x}{1+f'^2}+\frac{0.5f'f'''\Delta x^2}{1+f'^2}}{\left(1+\frac{f''^2\Delta x^2}{1+f'^2}+\frac{2f'f''\Delta x}{1+f'^2}+\frac{f'f'''\Delta x^2}{1+f'^2}\right)^{1/2}}$$

Usa las siguientes abreviaturas para una serie de Taylor (que es igual a $\cos(x) = 1 - x^2/2$): $$N=\frac{1}{1+f'^2}, a = Nf'f'', b = 0.5Nf'f''', c = Nf''^2, d = c + 2b$$

Luego,

$$h(\Delta x) = \frac{1 + a\Delta x + b \Delta x^2}{\left(1 + 2a \Delta x + d \Delta x^2\right)^{1/2}}$$

$$h'(\Delta x) = \frac{(a^2-c)\Delta x + 3ab \Delta x^2 + bd \Delta x^3}{\left(1 + 2a \Delta x + d \Delta x^2\right)^{3/2}}$$ y

$$h''(\Delta x = 0) = \frac{(a^2-c)\Delta x + 3ab \Delta x^2 + bd \Delta x^3}{\left(1 + 2a \Delta x + d \Delta x^2\right)^3/2}$$

Finalmente, obtenemos

$$1 - 0.5\frac{f''^2}{\left(1+f'^2\right)^2} \Delta x^2 = 1 - \frac{\Delta \alpha^2}{2}$$

o

$$\int_{x_0}^{x_1} \frac{f''}{1+f'^2}dx = \arctan(f'(x_1)) - \arctan(f'(x_0))$$.

Esto nuevamente da para un círculo completo $8\cdot\frac{\pi}{4} = 2 \pi$. Además, observamos que al final, solo juega un papel la diferencia entre los ángulos en $x_0$ y $x_1$.

Answer 2

Dado que el radio del Círculo A es 1/3 del radio del Círculo B. El Círculo A rueda alrededor del Círculo B una vuelta hasta su punto de inicio.

Pregunta ¿Cuántas veces girará el Círculo A alrededor de su centro?

*** Solución, Parte 1 Comience dibujando (1) Círculo B (2) Círculo A donde inicialmente contacta a Círculo B (3) Círculo A donde contacta a Círculo B después de rodar 1/3 del camino alrededor de Círculo B

Agregar a este dibujo 3 líneas Línea 1 la línea que conecta los centros de los Círculos A y B cuando el Círculo A inicialmente contacta a Círculo B

Línea 2 la línea que conecta los centros de los Círculos A y B cuando el Círculo A ha rodado 1/3 del camino alrededor de Círculo B

Línea 3 la línea que es paralela a la Línea 1 y pasa a través del centro de los Círculos A cuando el Círculo A ha rodado 1/3 del camino alrededor de Círculo B

*** Solución, Parte 2 (1) El ángulo entre la Línea 2 y la Línea 1 = 120 grados, entonces (2) El ángulo entre la Línea 2 y la Línea 3 = 120 grados

Entonces, el ángulo total alrededor del centro del Círculo A a través del cual ha rotado el punto de contacto es de 360 + 120 grados

Answer 3

Hay muchas explicaciones buenas arriba, pero creo que puedo mostrar una vista un poco diferente sobre esta pregunta clásica:

Mira la siguiente figura:

Cuando el círculo azul rota alrededor del círculo negro correspondiente al ángulo $\theta$, su centro se mueve $\theta(R+r)$.

Si uno marca el punto de contacto P en la posición inicial, ahora está en P' y el nuevo punto de contacto está en Q. Todo movimiento de traslación en O se traduce en una rotación de P.

Si O se mueve a O' en un segmento infinitesimal de parte de una línea hacia adelante, P en el punto de contacto se mueve hacia atrás a P' la misma longitud y Q es el nuevo punto de contacto.

Entonces podemos mostrar que OO’ = P’Q.

Para convencer al lector de que esto sucede, aproximemos el círculo por un polígono regular con miles de lados, que tiende a un círculo exacto, cuando el número de lados tiende a $\infty$.

Para que sea fácil de ver, imaginemos, en lugar de un polígono regular con una multitud de lados, un hexágono regular.

Ahora deja caer el B recorre el punto P del hexágono hasta que B toque el suelo en B'. Algunas visiones de la trayectoria del lado PB del hexágono se muestran en la figura en segmentos punteados.

Observa que el desplazamiento hacia atrás de P a P' es el arco PP', que con un gran número de lados puede aproximarse por el lado del hexágono PP'. Es el mismo desplazamiento hacia adelante de B a B'. De manera similar, el hexágono se habrá desplazado horizontalmente exactamente la longitud del lado del hexágono CC' (y también el centro del hexágono regular).

Así que la rotación completa del hexágono para llevar el punto P a la misma posición corresponderá a un desplazamiento horizontal igual del perímetro del hexágono. Tal razonamiento puede ser imaginado para cualquier polígono regular, sin importar cuántos lados tenga, que se acerque al círculo perfecto tanto como se desee.

No importa si la superficie sobre la que gira el círculo es una línea recta, un círculo o una forma irregular. En todos los casos, dividimos en segmentos iguales del mismo tamaño que la superficie adoptada del hexágono regular.

También supongamos que los 2 segmentos forman un ángulo $\alpha$. Podemos transferir el hexágono por el tamaño del lado, como en la figura anterior, y luego dejar caer el extremo B' en el ángulo $\alpha$.(*)

Observa que el centro C del hexágono primero asume la posición B, como en la figura anterior, luego asume la posición C'. Nota que el sector ABC' es equivalente al sector AB'B'' (2 lados iguales y 1 ángulo), por lo que el desplazamiento desde el centro C (CBC') es igual a la distancia recorrida para el punto de contacto A, aunque B' y B'' (AB'B'').

Si el movimiento del cual lo hace coincidir con P, la extensión total de la traslación del centro del círculo más pequeño (no afectado por la rotación del círculo más pequeño) se mueve $2\pi(R+r)$. Ya que consideramos $R = nr$, esto corresponde a $2\pi(n+1)r$.

Esta es la misma distancia recorrida por el punto de contacto del círculo más pequeño, como vimos anteriormente. Por lo tanto, como el perímetro del círculo más pequeño es $2\pi r$, se puede calcular cuántos círculos más pequeños se han recorrido en la traslación completa: $2\pi(n+1)r/2\pi r = n+1$

Observa que la solución anterior se aplica al círculo que gira sobre cualquier figura cerrada. La relación entre los perímetros es lo que cuenta.

(*) Hay una forma alternativa de mover el hexágono, que no se muestra aquí, por simplicidad, pero es equivalente.

Answer 4

Dado que 'revolución' tiene una definición matemática, es decir, $1 \ rev = 2 \pi r $ radianes, donde $r$ es el radio, este problema se explica fácilmente. Estamos buscando cuántas revoluciones de la Circunferencia A ocurren.

Círculo A:

Nota: $r$ = radio (Círculo B)

$1 \ rev = \frac{2}{3} \pi r $ radianes

$2 \ revoluciones = \frac{4}{3} \pi r $ radianes

$3 \ revoluciones = 2 \pi r $ radianes = La circunferencia de la Circunferencia B que la Circunferencia A recorrió.

Answer 5

No sé por qué la gente se complica tanto con estos problemas simples. La circunferencia del círculo más grande es 3 veces la circunferencia del círculo más pequeño. Si el círculo pequeño no se desliza, tomará 3 vueltas para cubrir la distancia alrededor del círculo más grande. No hay nada mágico aquí.

La razón por la que te quedaste desconcertado por el video es porque el uploader comete un error de 1:34 a 1:42. Cuenta esto como una revolución completa del círculo más pequeño, lo cual claramente no es. Si marcara ambos círculos con puntos en sus circunferencias, verías que se necesitan 3 revoluciones. Es simplemente la conservación de la longitud. El movimiento de rodadura es completamente irrelevante para el problema planteado.

Por cierto, la aplicación a la que enlazaste era para un factor de escala de 4:1, por eso en la aplicación toma cuatro revoluciones.