Círculo revoluciones rodando alrededor de otro círculo

Question

Acabo de ver este video y estoy un poco perplejo.

Problema:

El radio del Círculo A es 1/3 del radio del Círculo B.

El Círculo A rueda alrededor del Círculo B una vez de regreso a su punto de inicio.

¿Cuántas veces girará el Círculo A en total?

La respuesta intuitiva es 3, pero la respuesta correcta es 4. Entiendo el truco -- que el centro del Círculo A debe recorrer una distancia de $2\pi(r_B + r_A)$, no $2\pi r_B -- pero todavía estoy confundido en un aspecto.

Corriendo el riesgo de sonar muy no-matemático, ¿cómo se relacionan (de manera infinita) los puntos en la circunferencia de cada círculo para lograr esto?

Considera que el Círculo A rueda a lo largo de una línea recta con la longitud de la circunferencia del Círculo B. Entonces girará 3 veces. Es como si el universo "supiera" cuándo aplicar un mapeo de puntos diferente cuando cambias la disposición de la materia.

Answer 1

Gracias a todos por sus respuestas. Todas fueron informativas, pero no pude entenderlas intuitivamente hasta que vi este visual:

https://www.geogebra.org/m/v3a437ux

La clave para mí fue ver que hay dos tipos de revolución sucediendo:

1. Revoluciones del Círculo A con respecto al Círculo B, y
2. Revoluciones del Círculo A con respecto al observador (elevado).

Para el observador, las revoluciones del tipo (2) se completan antes que las revoluciones del tipo (1). Las revoluciones del tipo (1) ocurren en las raíces de la unidad $r_B/r_A$, y las revoluciones del tipo (2) ocurren en las raíces de la unidad $(r_B/r_A + 1)$. Fue muy útil ver precisamente dónde ocurren estas revoluciones, porque mentalmente era imposible unificar los dos tipos de revolución sin la visualización. También es útil notar que en cualquier momento dado, con respecto al observador, los puntos del Círculo A en el lado lejano del Círculo B se mueven más rápido que los puntos del Círculo A en el lado que está tocando al Círculo B.

La respuesta de David K es genial para entender que el mapeo paramétrico del tiempo a pares de puntos es el mismo ya sea que el Círculo A ruede a lo largo de una línea recta o de un círculo, y que estamos tratando con marcos de referencia. Simplemente no creía que el mapeo fuera el mismo hasta que vi la visualización.

Las respuestas de zoli y Hans Lundmark son estupendas para entender que una revolución extra debe ocurrir en algún punto a lo largo del camino de rodadura. La respuesta completa, por supuesto, es que esta última misteriosa revolución no ocurre de una vez, sino gradualmente a lo largo de toda la rodadura.

El visual fue descubierto en los comentarios en esta página, que es otra discusión del mismo problema:

https://plus.maths.org/content/circles-rolling-circles

Answer 2

Un círculo $A$, con radio $r$, regresa a su punto de partida cuando el centro de $A$ completa una rotación (alrededor del centro del círculo $B$ con radio $R$). Claramente, el centro de $A$ recorre un camino circular de radio = $R+r$.

Ahora, la física al rescate.

Permita que la velocidad del centro de $A$ = $v$

Permita que la velocidad angular de la rotación de $A$ alrededor de su propio centro = $\omega$

Dado que, $A$ rueda sobre $B$ $\implies$ $v = \omega r$ (Suponiendo que $B$ está fijo, la condición de rodar es que el punto de contacto está en reposo).

Permita que el tiempo tomado por el centro de $A$ para completar una rotación sea $t$.

Entonces, $2\pi (R+r) = vt$

$\implies t = \frac{2\pi (R+r)}{v}$

La distancia angular total recorrida por $A$ alrededor de su centro en la misma duración: $\theta = \omega t

Usando los resultados anteriores, obtenemos $\theta = \frac{v}{r} \frac{2\pi (R+r)}{v} = \frac{2\pi (R+r)}{r}$

En este tiempo $t$, $A$ completa, digamos, $N$ rotaciones alrededor de su centro.

$\implies N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{(R+r)}{r}$

Ahora, en tu caso $ r = \frac{R}{3}$

Usando esta información, $ N = 4$

Answer 3

Como se muestra en la figura a continuación, el círculo más pequeño debe dar $3$ vueltas si viaja a lo largo de una distancia recta igual al perímetro del círculo más grande. En este caso, el centro del círculo más pequeño recorre la misma distancia.

Ahora imagina que la línea recta de longitud $6\pi r_B$ da una vuelta completa alrededor de su centro mientras el círculo pequeño rueda a lo largo. Además, supongamos que la línea recta da una vuelta completa mientras el círculo alcanza el otro extremo.

Como resultado, el círculo pequeño da una cuarta vuelta.

El número de vueltas no es diferente si el camino es circular. La circularidad del camino se modeló en el caso del camino recto girando alrededor del segmento.

El video explica lo mismo al afirmar que el círculo pequeño tiene que recorrer una distancia de $8\pi r_B$. Esto es lo mismo que tener que viajar en la línea recta de longitud $8\pi r_B$ que no gira alrededor de su centro.

Answer 4

El mapeo de puntos de un círculo a otro no es diferente cuando el círculo pequeño está rodando sobre una línea recta; la revolución adicional es simplemente debido a la flexión.

Quizás sea más fácil ver esto en el caso de deslizamiento, cuando hay un único punto $A$ en el pequeño círculo que está en contacto con la línea o el círculo grande durante todo el proceso. Cuando se desliza sobre una línea, el círculo pequeño no gira en absoluto. Pero si se supone que debe deslizarse a lo largo de un círculo grande de tal manera que el mismo punto $A$ esté en contacto todo el tiempo, entonces también tiene que girar mientras se desliza (y hará una revolución mientras desliza una vuelta a lo largo del círculo grande).

Answer 5

No sé a qué te refieres con "los puntos se mapean entre sí". "Mapear" un conjunto a otro implica una función que mapea cada punto en un conjunto a un punto único en el otro; "mapear entre sí" implica que la función es uno a uno. No hay un mapeo uno a uno entre los puntos: cada punto en el círculo pequeño se encuentra con tres puntos diferentes en el círculo grande. Si enrollas un círculo de radio $2$ dos veces alrededor del círculo de radio $3$ entonces la correspondencia entre los puntos que se encuentran ni siquiera es una función en una dirección, y mucho menos una función uno a uno. Creo que quizás te refieres a que hay un mapeo desde algún parámetro a los pares de puntos a lo largo de los dos círculos que entran en contacto; por ejemplo, si el parámetro es el tiempo en segundos desde que comenzó el movimiento, el mapeo dice qué dos puntos estarán en contacto en cada momento $t$.

Prefiero un enfoque completamente diferente al del video. Siéntate en un marco que está unido a los centros de los dos círculos. Mientras el círculo pequeño rueda alrededor del más grande, el movimiento del centro del círculo pequeño rotará el marco (y tú) alrededor del centro del círculo más grande.

Mientras estás sentado en el marco, lo que ves es que los dos centros de los círculos permanecen en el mismo lugar dentro de tu campo de visión, mientras el círculo más grande gira alrededor de su centro y el círculo más pequeño también gira sin deslizarse contra el círculo más grande. Y por supuesto ves que el círculo más pequeño gira tres veces.

Pero alguien que permanece inmóvil en relación al círculo más grande, no sentado en tu marco giratorio, ve que el círculo más pequeño gira cuatro veces: las tres veces que observaste, más una rotación que no observaste porque estabas haciendo una rotación completa en la misma dirección tú mismo. Si te bajas del marco y "deshaces" el efecto de su rotación sobre ti girándote una vez en la dirección opuesta, observarás la cuarta rotación del círculo pequeño.