Cuando uno recibe una partición $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_r)$ y una gavilla localmente libre $\mathcal{E}$ en, por ejemplo, una variedad de Grassmann, se puede aplicar el functor de Schur $\Sigma^{\lambda}(\mathcal{E})$ para alguna partición $\lambda$ . Tomemos ahora una gavilla invertible $\mathcal{L}$ y mi pregunta es: ¿Qué es $\Sigma^{\lambda}(\mathcal{E}\otimes \mathcal{L})$ en términos de $\Sigma^{\lambda}(\mathcal{E})$ y $\mathcal{L}$ o $\Sigma^{\lambda}(\mathcal{L})$ ? ¿Existe una fórmula para calcular el functor de Schur del tensor-producto?
Respuesta
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Chris Porter
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Hay una fórmula. Sea $ M $ sea una matriz cuadrada, $ \lambda $ una partición de $n$ . Podemos pensar en $M$ como un mapa de módulos libres, por lo que tiene sentido pensar en $S_{\lambda} M$ . Las entradas de $ S_{\lambda} M $ son polinomios homogéneos en las entradas de $ M $ con grado $ n$ . Si $M$ es una matriz de transición para el haz de vectores $E$ y para obtener la matriz de transición $E \otimes L $ se multiplica cada entrada de $M$ por la matriz de transición para $L$ . Por lo tanto, para obtener la matriz de transición de $S_{\lambda} (E \otimes L) $ se toma la matriz de transición para $S_{\lambda} E $ y multiplicar cada entrada por la matriz de transición de $L^{\otimes n}$ . Esto nos dice que $ S_{\lambda}(E \otimes L) = (S_{\lambda} E) \otimes L^{\otimes n}$
