Que $P$ ser un polinomio complejo tal que $z \in \mathbb{R} \iff P(z) \in \mathbb{R}$. Mostrar que $deg P = 1$

Question

Necesito ayuda con lo siguiente:

Que $P$ ser un polinomio complejo tal que $z \in \mathbb{R} \iff P(z) \in \mathbb{R}$. Mostrar que $deg P = 1$

También hay una pista:

Definir $P = u+iv$ y demuestran que ya sea $v_y \le 0$ o $v_y \ge 0$ en el eje real.

He conseguido demostrar que. Entonces usando ecuaciones CR que deduje que $u$ es monotono en el eje real que demuestre que el $deg P$ es raro. No sé qué hacer.

Cualquier ayuda será muy apreciada

Gracias

Answer 1

Esto es lo que haría yo para demostrar que $P$ es de grado $1$:

Decir $P = a_nz^n + \cdots + a_0$, vamos a $s > 0$ ser un número real suficientemente grande como para que en el círculo de $\gamma$ radio $s$ centrada en el origen, el $n$-ésimo grado plazo de $P$ domina todos los otros términos juntos. Ahora parametrizar $\gamma$$z(t) = se^{it}$$0\leq t < 2\pi$.

Como $t$$0$$2\pi$, $z(t)$ va alrededor de $\gamma$, e $P(z(t))$ va alrededor del origen $n$ veces. Eso significa que golpea el eje real positivo, al menos, $n$ a veces, y el eje real negativo, al menos, $n$ veces. Pero $z(t)$ sólo golpea el eje real dos veces (una vez en el lado positivo, y una vez en el lado negativo), por lo que debe tener $n = 1$, de lo contrario tendrá un valor para el que $P(z)$ es real, sino $z$ no lo es.

Answer 2

Deje $n$ es el grado de $P$.

La hipótesis implica que todos los $n$ ceros de $P$ son reales porque $0$ es real. Esto implica que $P$ tiene coeficientes reales debido a $P(x)=a(x-a_1)\cdots(x-a_n)$ implica $a$ es real mediante la toma de $x$ cualquier número real que no es una raíz de $P$.

Ahora consideremos las ecuaciones $P(x)=c$ $c$ real. Las soluciones deben ser real, para cada $c$. Esto significa que la línea de $y=c$ cortes de la gráfica de $P$ exactamente $n$ veces, contadas con multiplicidad. Pero esto no puede suceder si $n>1$ porque $P$ va monótonamente a$\pm \infty$$x \to \infty$.

Answer 3

Como usted y lhf notar, $P(z)$ tiene coeficientes reales; a partir de la hipótesis de la $v$ se desvanece exactamente en el eje real, sabemos que (posiblemente después de la sustitución de $P$ con $-P$) $v$ es estrictamente positivo (por ejemplo) en la mitad superior del plano y estrictamente negativo en la mitad inferior del plano. Por lo tanto, $v_y\ge0$ sobre el eje real. Por $CR$, sabemos que $u_x \ge 0$ sobre el eje real, como usted dijo. Por lo tanto, la visualización de $P$ como una función polinómica de los reales a los reales, sabemos que $P$ es la disminución de la nada. $P$ no es constante (de lo contrario todo el plano complejo se asigna a los reales, contrario a la hipótesis), por lo que hay un $a\in {\mathbb R}$ tal que $P'(a)$ no es cero. Vamos $c = P(a).$ Entonces, el polinomio $P(z) - c $ no tiene una raíz repetida en $a$. Por lo tanto, si $P$ no es de grado uno, es $b \not=a$ (que también debe ser real, por parte de la premisa de la pregunta) tales que $$c = P(b) = P(a).$$

Pero esto no es posible (como $P$ es la disminución de la nada, y $P'(a)\not= 0.$)

Por lo tanto $P$ es de grado uno.