continuidad y análisis derivados

Question

Supongamos que es continua en $g \colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ $[a,b]$ y integrable con $g(a)=g(b)=0$ que $g'' \colon (a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ continua en $(a,b)$ y es delimitada por $K$. Demostrar que $|g(x)| \leq K|x-a||x-b|$ % todos $x \in [a,b]$. Probé utilizando la definición de derivados y me estoy inclinando hacia el teorema del valor medio. Ayuda por favor.

Answer 1

Utilizando la fórmula de Taylor, podemos get\begin{equation}g(a)=g(x)+g'(x)(a-x)+\frac{g''(x_1)(a-x)^2}{2}\end{equation}and\[g(b)=g(x)+g'(x)(b-x) + \frac {g'' (x_2)(b-x) ^ 2} {2}. \] tenga en cuenta que $g(a)=g(b)=0$, que have\[-(b-a)g(x)=\frac{g''(x_1)(a-x)^2(b-x)}{2}-\frac{g''(x_2)(b-x)^2(a-x)}{2},\]hence\begin{align}|(b-a)g(x)|=&\left|\frac{(a-x)(b-x)}{2}\right|(|g''(x_2)(a-x)|+|g''(x_1)(b-x)|)\\\leqslant&\left|\frac{(a-x)(b-x)}{2}\right|(K(x-a)+K(b-x))=K(b-a)\left|\frac{(a-x)(b-x)}{2}\right|\end{align}where $K=\sup|g''(x)|$.

Therefore\ [| g (x) | \leqslant \left|\frac{K(a-x)(b-x)} {2} \right|. \]