Les presento una idea de cómo podrían empezar: Empezamos de la misma manera que probablemente ya lo hiciste, pero luego nos ocupamos de un detalle.
La idea central es la siguiente:
Lo que intentamos hacer aquí es aprovechar el hecho de que el cuadrado rojo siempre se ignora en la suma: (Los rectángulos amarillos representan las sumas).
![]()
Seguramente $$\int_0^1 f(x) dx + \int_0^1 f^{-1}(x) dx = 1 \qquad (1)$$
Dejemos que $x_k = 0.1\cdot k$ . A continuación, defina la función escalonada constante a trozos $g(x) = f(x_k)$ para $ x \in [x_k,x_{k+1})$ y de manera similar $g^{-1}(x) = f^{-1}(x_k)$ para $x \in [x_k, x_{k+1})$ . (Obsérvese que sólo utilizo el símbolo $g^{-1}$ por razones de simetría, pero $g^{-1}$ hace no denotan la inversa de $g$ .)Entonces seguramente $g(x) \leq f(x)$ y $g^{-1}(x) \leq f(x) \forall x \in [0,1]$ .
Por lo tanto,
$$\frac{1}{10}(f(0.1)+f(0.2)+\ldots+f(0.9))=\int_{0.1}^1 g(x) dx \leq \int_{0.1}^1 f(x)dx \qquad (2)$$ y
$$\frac{1}{10}(f^{-1}(0.1)+f^{-1}(0.2)+\ldots+f^{-1}(0.9))=\int_{0.1}^1 g^{-1}(x) dx \leq \int_{0.1}^1 f^{-1}(x)dx \qquad (3)$$
Ahora bien, tenga en cuenta que $$G:=\int_0^{0.1} g(x) dx + \int_0^{0.1} g^{-1}(x)dx = 0 \qquad (4)$$
Ahora sólo tenemos que considerar $$F:=\int_0^{0.1} f(x) dx + \int_0^{0.1} f^{-1}(x)dx \qquad (5)$$
Así que ahora podemos añadir $(2)$ y $(3)$ y multiplicar por $10$ y obtener
$$\sum_{k=1}^9 f(x_k) + f^{-1}(x_k) \overset{(2) \& (3)}{\leq} 10\int_{0.1}^1 f(x) dx + 10\int_{0.1}^1 f^{-1}(x) dx \overset{(1)\& (5)}{=} 10(1-F) $$
Queda por demostrar que $F \geq 0.01$ :
Dejemos que $a=0$ y $b=0.1$ .
Entonces $$\begin{align*}F &= \int_0^b f(x)dx+\int_{0}^{b} f^{−1}(x)dx \\ & \geq \int_0^b \min\{f(x),b\} dx+\int_{0}^{b} \min\{f^{−1}(x),b\}dx \\ & =b^2 = 0.01 \end{align*}$$
Esto completa la prueba.
