La teoría KAM y la hipótesis ergódica

Question

He visto que varios autores mencionan que la teoría KAM contradice la hipótesis ergódica. Desgraciadamente, los autores no se explayan al respecto. Tengo algunos conocimientos sobre la teoría KAM, pero muy pocos sobre la teoría ergódica. ¿Podría alguien explicar el argumento?

Answer 1

"La teoría KAM contradice la hipótesis ergódica" en realidad sólo significa que en un típico sistema hamiltoniano casi integrable con un número finito de grados de libertad -uno de esos sistemas para los que se cumple el Teorema KAM- no puede haber ergodicidad. Así que KAM no se sostiene en sistemas ergódicos, y los sistemas para los que podemos utilizar la teoría KAM no son ergódicos.

Esto parece que sería devastador para básicamente toda la termodinámica y la mecánica estadística, ya que varios temas estudiados en estas teorías suponen que un sistema hamiltoniano casi integrable satisface la ergodicidad si se limita a las hipersuperficies de energía potencial. La ergodicidad, sin embargo, parece ser una suposición razonable para n muy grandes, aunque a pesar de no existir la posibilidad de una ergodicidad "verdadera".

Entonces, ¿por qué estos dos dominios son disjuntos? Pues bien, KAM afirma que en un sistema hamiltoniano con n grados de libertad, hay típicamente n toros cuasiperiódicos con medida de Liouville positiva en cada hipersuperficie de energía potencial. Como estos toros son distintos, y tienen medida positiva en una hipersuperficie, esta hipersuperficie puede descomponerse en conjuntos disjuntos que son invariantes y con medida positiva, así que mientras la hipótesis ergódica afirmaría que una trayectoria pasa el tiempo en este toro proporcional a su medida, es cuasiperiódica en algún toro y por tanto el tiempo que pasa en ese toro no es proporcional a la medida del toro.

Answer 2

Dado un subconjunto abierto $B$ de $\mathbb R^n$ Consideremos en $B^n\times\mathbb T^n$ la forma simpléctica $$\Omega=\sum_{i=1}^ndq_i\wedge dp_i,$$ donde $p=(p_1,\ldots,p_n)$ son coordenadas en $B$ y $q=(q_1,\ldots,q_n)$ son las coordenadas angulares en $\mathbb T^n$ .

Asignemos una función hamiltoniana $H(q,p)=H_0(p)+\varepsilon H_1(q,p)$ que satisface la condición de no degeneración $$\det\left(\frac{\partial^2 H_0}{\partial q\partial q}\right)\neq 0$$ Las ecuaciones de Hamilton asociadas son $$\dot p=-\varepsilon\frac{\partial H_1}{\partial q},\quad \dot q=\omega_0(p)+\varepsilon\frac{\partial H_1}{\partial p}$$ donde $\omega_0(p):=\dfrac{\partial H_0}{\partial p}.$

1. El caso no perturbado ( $\varepsilon=0$ ) el flujo hamiltoniano, en la invariante $n$ -toros $p=\mathrm{constant}$ es cuasi-periódico con cuasi-frecuencias $\omega_0(p)$ . $$(t,(q,p))\mapsto(q+t\omega_0(q),p)\tag{*}$$ Para cualquier $p_0$ en un determinado subconjunto abierto y denso en todas partes $B_0$ de $B$ los componentes de $\omega(p_0)$ son $\mathbb Q$ -lineal indipendiente, por lo que cada curva integral es densa en la invariante $n$ -toro $p=p_0$ que se llama no resonante .

2. El caso pertubado ( $\varepsilon<<1$ ) Kolmogorov demostró que, en el sentido de la teoría de la medida de Lebesgue, casi todas las $n$ -Toros con el flujo(*) son sólo ligeramente deformados.

Por lo tanto, el flujo hamiltoniano en la hiperfase de energía $H=\mathrm{constant}$ no es ergódica, mientras que, entre sus componentes ergódicas, se encuentran casi todas las invariantes $n$ -toros.

Todo esto no es más que una reformulación del apartado 21 de Arnold, Avez, "Problemes Ergodiques De La Mecanique Classique".

Answer 3

No creo que la afirmación "KAM contradice la hipótesis de la teoría ergódica" sea correcta o incluso tenga sentido matemático. La hipótesis Ergódica (o el teorema Ergódico de Birkhoff) afirma vagamente que para los sistemas ergódicos (los sistemas ergódicos se definen rigurosamente, véase wikipedia), el promedio temporal de los iterados de un punto elegido al azar será igual al promedio espacial de los iterados de todo el conjunto donde la medida ergódica es distinta de cero. Intuitivamente, dice que una trayectoria típica muestreará todos los puntos del espacio de fase (en el límite de tiempo infinito), y la fracción de tiempo transcurrido en cada vecindad será igual a la medida (ergódica) de esa vecindad.

El teorema de KAM se utiliza en el contexto de los sistemas NO ERGODICOS, y especialmente, de los sistemas casi integrables con una pequeña perturbación lejos de la integrabilidad completa. Afirma que, bajo una hipótesis adecuada, para un gran conjunto de condiciones iniciales, la trayectoria de un sistema casi integrable seguirá teniendo un comportamiento cuasiperiódico, es decir, se limitará a un subconjunto de medida cero del espacio de fase completa.

En cierto sentido, puedo ver por qué la gente hará la afirmación falsa que has mencionado. Pero la cuestión es que los sistemas a los que suele aplicarse KAM (sistemas casi integrables) son muy diferentes de aquellos a los que se aplica la hipótesis ergódica (sistemas ergódicos).

Answer 4

La hipótesis ergódica afirma más o menos que el flujo hamiltoniano restringido a cada superficie de energía es ergódico para la medida de Liouville.

Ahora bien, si tomamos un sistema hamiltoniano integrable con un espacio de fase de 2n dimensiones, el teorema de las coordenadas angulares de acción nos dice que existen n primeras integrales de movimientos $I_i$ (tal que dI_i son independientes) y unas coordenadas angulares $\theta_i$ definido en $S^1$ para i=1,...,n tal que bajo el cambio de coordenadas $(x,p) \rightarrow (\theta(x,p),I(x,p))$ el flujo hamiltoniano sigue satisfaciendo las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para la nueva función hamiltoniana en estas coordenadas. Pero como $I_i$ son primeras integrales significa que $\frac{dI_i}{dt}=0$ (a partir de ahora eliminaré el subíndice i) y si se observa la forma de las ecuaciones hamiltonianas se obtiene que el nuevo hamiltoniano no depende de $\theta$ pero depende de $I$ . Y así $I(t) = cnst$ y $\theta(t)= \theta(0) + I(0)t$ .

Ahora, observe que una de las primeras integrales será la energía digamos $I_1$ . Es evidente que un sistema integrable no satisface la hipótesis ergódica. Esto se debe a que existe un subconjunto de unión de torii de medida positiva dentro de $I_1 =cnst$ tal que la unión es invariante pero tiene medida positiva (no 1). Pero esto no es suficiente para decir que la hipótesis ergódica no se cumple para los sistemas "más todos", ya que los sistemas integrables pueden, en teoría, ser destruidos por pequeñas perturbaciones (y la gente de sistemas dinámicos está interesada en afirmaciones que se cumplen genéricamente pero no para todos los ejemplos). Pero el teorema de KAM dice que incluso si se hace esta perturbación, seguirá existiendo un conjunto de medidas positivas de toros invariantes tal que restringido a cada toro el flujo hamiltoniano es conjugado a una traslación racionalmente independiente. Así que tienes un conjunto abierto de flujos hamiltonianos (no recuerdo cuál es el grado de suavidad de la perturbación pero digamos por simplicidad en $C^{\infty}$ topología) donde falla la hip. ergódica.

En este caso cada toro representa un conjunto de niveles de la forma $I=cnst$ y en particular es un subconjunto de $I_1=cnst$ . Por lo tanto, restringido a cada superficie de energía, el flujo hamiltoniano es no ergódico. Sin embargo, restringido a cada $I=cnst$ el flujo hamiltoniano sigue siendo ergódico ya que es conjugado con la traslación racionalmente independiente en el toro. Todavía no he entendido si esto tiene algún significado físico o no. También es provocativo pensar que en las coordenadas del ángulo de acción, las constantes de movimiento representan el momento. Ahora bien, como el nuevo hamiltoniano $H$ sólo depende de $I$ , entonces los conjuntos de niveles $I =cnst$ representar de alguna manera las superficies de energía en estas nuevas coordenadas y de alguna manera esto parece a lo que afirma la hip. Ergódica.

p.d: Debo señalar que hay algún problema de finitud de usar la medida de Liouville directamente. Creo que esto tiene más sentido cuando hay una superficie de energía compacta que se restringe a uno mismo y luego en esta superficie, utilizando la medida de Liouville, se puede construir otra medida invariante y finita que da una medida completa a esta superficie de energía (que no es de extrañar que se llame una distribución microcanónica).