demuestran que el intervalo de la forma $[0,a)$ o $(a, 1]$ es un conjunto abierto en el subespacio métrico $[0,1]$ pero no abierto en $\mathbb R^1$

Question

En el subespacio métrico $S = [0,1]$ del espacio euclidiano $\mathbb R^1$ cada intervalo de la forma $A = [0,a)$ o $(a, 1]$ donde $0<a<1$ es un conjunto abierto en S. Estos conjuntos no son abiertos en $\mathbb R^1$

Esto es lo que intenté demostrar que $A$ está abierto en $S$ . No tengo ni idea de cómo no se abre en $\mathbb R^1$ .

Dejemos que $M = \mathbb R^1$ , $x \in A = [0,a)$ .
Si $x = 0$ , $r \leq \min \{a, 1-a\}, \\\ B_S(0; r) = B_M(0,r)\cap[0,1] = (-r, r) \cap[0,1] = [0,r) \subseteq A$

Si $x \neq 0, r \leq \min \{x,|a-x|, 1-x\}, \\B_S(x; r) = B_M(x,r)\cap[0,1] = (x-r, x+r) \cap[0,1] \subset (0,x) \text{ or } (x, 1) \subset A$

Answer 1

Los conjuntos abiertos en $[0,1]$ utilizando la topología del subespacio son los de la forma $U \cap [0,1]$ donde $U$ está abierto en $\mathbb{R}$ .

$[0,x)$ está abierto porque, por ejemplo, se puede escribir como $(-1,x) \cap [0,1]$ y $(x,1]$ está abierto porque se puede escribir como $(x,2) \cap [0,1]$ .

$[0,x)$ no está abierto en $\mathbb{R}$ porque todo conjunto abierto que contenga $0$ contiene puntos en $(-\infty,0)$ y no está cerrado porque $x \notin [0,x)$ pero $(x-\frac{1}{n}) \to x$ y $x-\frac{1}{n} \in [0,x)$ para todos $n$ suficientemente grande.

Asimismo, $(x,1]$ no está abierto. (Explícitamente, el mapa $y \mapsto 1-(\frac{1-x}{x}) y$ es un homeomorfismo de $[0,x)$ en $(x,1]$ .)

Answer 2

Una pista: Para mostrar $(x,1]$ no se abre en $\mathbb R$ simplemente demostrar que no hay ninguna vecindad abierta de $1$ incluido en el intervalo semicerrado.

Answer 3

Recordemos que los conjuntos abiertos en $[0,1]$ puede caracterizarse como todas las intersecciones de conjuntos abiertos en $\mathbb R$ con $[0,1]$ . Si no conoces este resultado, consulta tu libro de texto. ¿Puedes encontrar un conjunto abierto $U$ para que $U \cap [0,1]$ es $[0,x)$ ? ¿Qué pasa con $(x,1]$ ?

Para demostrar que estos intervalos semiabiertos no son abiertos en $\mathbb R$ Recordar lo que significa estar abierto en $\mathbb R$ . Encuentra un punto de manera que ninguna vecindad del punto esté contenida en el conjunto. Por ejemplo, si se tiene $[0,x)$ , mira los vecindarios de $0$ .

(Esta respuesta supone que se utiliza la topología del subespacio en $[0,1]$ . Si no sabe lo que esto significa, ignore este comentario entre paréntesis).