Calculando ...5(5+4(4+3(3+2(2+1(1)))))

Question

He estado reflexionando sobre esta pregunta durante un tiempo y finalmente he decidido recurrir a la comunidad de StackExchange para obtener una respuesta.

¿Cómo se determinaría el valor de la expresión ...5(5+4(4+3(3+2(2+1(1)))))) a n, asumiendo que en este caso n = 5?

¡Saludos!

Answer 1

Siguiendo las sugerencias de Winther y ctst en los comentarios, al establecer $$a_1=1,\quad a_{n+1}=(n+1)(n+1+a_n),\quad b_n = \frac{a_n}{n!}\tag{0}$$ obtenemos $b_1=1$ y $b_n-b_{n-1}=\frac{n^2}{n!}=\frac{n}{(n-1)!}$, entonces: $$a_n = n!\sum_{k=1}^{n}\frac{(k-1)+1}{(k-1)!}=n!\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}+\sum_{k=0}^{n-2}\frac{1}{k!}\right)=n!\left(2\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}-\frac{1}{(n-1)!}\right).\tag{1}$$

Answer 2

Esto se puede escribir como:

$$5\cdot 5 + 5\cdot 4\cdot 4 + 5\cdot 4\cdot 3\cdot3 + 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2+5!\cdot 1\\ =\frac{5!}{4!}\cdot 5 + \frac{5!}{3!}\cdot 4 + \frac{5!}{2!}\cdot 3 + \frac{5!}{1!}\cdot 2+\frac{5!}{0!}\cdot 1$$

Luego, la fórmula general es:

$$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n!}{k!}(k+1) = n!\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k+1}{k!}$$

Probablemente esto no tiene una forma cerrada, pero podemos decir que:

$$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k+1}{k!} = \frac{1}{(n-1)!}+2\sum_{k=0}^{n-2}\frac{1}{k!}$$

Entonces:

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k!}=2e$$

Answer 3

Comencemos evaluando la serie en pequeños $n$: $$S_1=1^2$$ $$S_2=1^2(2) + 2^2$$ $$S_3=1^2(2)(3) + 2^2(3) + 3^2$$ $$S_4=1^2(2)(3)(4) + 2^2(3)(4) + 3^2(4) + 4^2$$ Y en general: $$S_n=1\frac{n!}{0!}+2\frac{n!}{1!}+3\frac{n!}{2!}+...+(n-1)\frac{n!}{(n-2)!}+n\frac{n!}{(n-1)!}$$ $$=\sum_{k=1}^{n} {k\frac{n!}{(k-1)!}}=n!\sum_{k=1}^{n} {\frac{k}{(k-1)!}}=n!\sum_{k=1}^{n} {\frac{1+(k-1)}{(k-1)!}}$$ $$=n!\bigg(\sum_{k=1}^{n} {\frac{1}{(k-1)!}}+\sum_{k=1}^{n}\frac{k-1}{(k-1)!}\bigg)$$ $$=n!\bigg(\sum_{k=1}^{n} {\frac{1}{(k-1)!}}+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{(k-2)!}\bigg)$$ Ahora debemos utilizar la identidad: $$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k!}}=\frac{e\Gamma(n+1,1)}{n!}-1$$ Donde $\Gamma(a,b)$ es la función gamma incompleta superior. En este caso se puede calcular con la relación de recurrencia de: $\Gamma(n+1,1)=n\Gamma(n,1)+\frac{1}{e}$

Nota: $$\sum_{k=1}^{n} {\frac{1}{(k-1)!}}=\sum_{k=0}^{n-1} {\frac{1}{k!}}=1-\frac{1}{n!}+\sum_{k=1}^{n} {\frac{1}{k!}}=\frac{e\Gamma(n+1,1)-1}{n!}$$ $$\sum_{k=2}^{n} {\frac{1}{(k-2)!}}=\sum_{k=0}^{n-2} {\frac{1}{k!}}=1-\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n-1)!}+\sum_{k=1}^{n} {\frac{1}{k!}}=\frac{e\Gamma(n+1,1)-n-1}{n!}$$ Sustituir: $$S_n=n!\bigg(\frac{e\Gamma(n+1,1)-1}{n!}+\frac{e\Gamma(n+1,1)-n-1}{n!}\bigg)$$ $$=2e\Gamma(n+1,1)-n-2$$ $$=n(2e\Gamma(n,1)-1)$$ Otra evaluación de la función gamma incompleta superior (https://arxiv.org/pdf/math-ph/0501019.pdf) $$\Gamma(n,1)=\frac{1}{e}(1+(n-1)(1+(n-2)(1+(n-3)(1+(n-4)(...)))))$$ Esto nos da: $$S_n=n(1+2(n-1)(1+(n-2)(1+(n-3)(1+(n-4)(...)))))$$ Lo cual no es realmente mejor que lo que empezaste. No parece haber expresiones que puedan ser calculadas en tiempo $O(1)$ para esta suma.