$\mathbb{R}$ no es el campo de fracciones de un UFD

Question

Necesito probar lo siguiente.

Si$D$ es un UFD y si

ps

Entonces $$\mathbb{R}\cong \operatorname{Frac}(D)$.

No tengo idea de cómo probarlo. Intenté usar el hecho de que el campo de fracción es una localización y que la localización es plana.

Answer 1

Sugerencia: Suponga $p\in D$ es un primer elemento. Entonces, como un elemento de $\mathbb{R}\cong\operatorname{Frac}(D)$, $p$ tiene una raíz cúbica. ¿Que te dice esto?

Los detalles de cómo terminar el argumento están ocultos a continuación.

Es una contradicción si $p$ tiene una raíz cúbica en $\operatorname{Frac}(D)$, como se puede ver considerando la factorizations en $D$ del numerador y el denominador de su raíz cúbica. Por lo tanto $D$ no tiene elementos principales, lo que implica que cada elemento distinto de cero de a $D$ es una unidad. Es decir, $D$ es un campo, por lo $D=\operatorname{Frac}(D)\cong\mathbb{R}$.

Answer 2

De manera más general, permita que$D$ sea un UFD y$K=\operatorname{Frac}(D)$.

Entonces,$K^\times = D^\times \times A$, donde$A$ es un grupo abelian gratis.

Además,$A$ es trivial iff$D$ es un campo y$K=D$. De lo contrario,$A$ y así$K^\times$ admiten un homomorfismo distinto de cero a$\mathbb Z$.

Ahora,$\mathbb R^\times = \{1,-1\} \times \mathbb{R}_{>0}$ es el producto de un grupo de torsión por un grupo divisible y admite tan solo el homomorfismo cero a$\mathbb Z$. Mira aquí .

En pocas palabras: si$\mathbb R= \operatorname{Frac}(D)$, entonces$D=\mathbb R$.

Answer 3

Según el criterio de Eisenstein, hay polinomios irreductibles de cualquier grado en$(\operatorname{Frac} D)[X]$ si$D$ es un UFD pero no un campo.