Encuentra un grupo con Sylow$p$ distinto - subgrupos que comparten un normalizador

Question

Aquí una pregunta que se me ocurrieron, pero no puede encontrar una respuesta a

Encontrar dos distintas Sylow $p$-subgrupos (de un determinado $p$) $H_1$ y $H_2$ $G$ tal que $N_G(H_1) = N_G(H_2)$.

No sé si es realmente posible, así que debo calificar la pregunta con

Si no hay pareja existe, mostrar por qué.

Bueno, el caso más fácil sería si $H_1$ $H_2$ fueron normales, sin embargo esto implicaría que $n_p = 1$. Por lo tanto, le gustaría tener sólo un Sylow $p$-subgrupo.

Mi intuición me dice que ese par no existe, sin embargo. Por supuesto, es simplemente la intuición...

Answer 1

Según un comentario de @JyrkiLahtonen y otros:
"Esto no es posible. El normalizador de un subgrupo Sylow$p$ - tiene un único subgrupo Sylow$p$. Bueno, porque el que tiene es normal, es decir,$H_1⊴N_G(H_1)$".